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- 2021-05-25 发布
专题限时集训(十一) 圆锥曲线中的综合问题
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1．(2019·西安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，x轴上方的点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝，直线l与抛物线E交于M，N两点(点M，N与A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2.
(1)求抛物线E的方程；
(2)当k1＋k2＝2时，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
[解] (1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋＝，得p＝1，
所以，抛物线E的方程为y2＝2x.
(2)证明：如图所示，易知直线l的斜率存在且不等于零，设直线l的方程为y＝kx＋b，
联立直线l与抛物线E的方程得k2x2＋(2kb－2)x＋b2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，k1＋k2＝＋＝
＝
＝＝2，
化简得出(b＋1)(b＋2k－2)＝0，∴b＝－1或b＝2－2k.
当b＝－1时，y＝kx－1，过定点(0，－1)；
当b＝2－2k时，y＝kx＋2－2k＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，舍去，
故直线l恒过定点(0，－1)．
2．(2019·马鞍山二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点M在椭圆C上且MF垂直于x轴．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上的动点，直线PM与x＝4交于点N，求证：点N到直线PF的距离为定值，并求出这个定值．
[解] (1)由题意可得解得a2＝4，b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：设点P的坐标为(x0，y0)，由M，
可得直线PM的方程为y－＝(x－1)，
将x＝4，代入可得y＝＋，
故点N，
∵F(1,0)，
∴直线PF的方程为y＝(x－1)，即y0x＋(1－x0)y－y0＝0.
∴点N到直线PF的距离为
＝＝
＝＝3，
故N到直线PF的距离为定值，定值为3.
3．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
[解] (1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
4．已知椭圆M：＋＝1(a＞0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)[一题多解]记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[解] (1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，
又b＝，所以a＝2，所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0恒成立，且x1＋x2＝－，x1x2＝.
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝＝≤＝(当且仅当k＝±时，取等号)，
所以|S1－S2|的最大值为.
法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＞0恒成立，且y1＋y2＝，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝＝≤＝，当且仅当m＝±时取等号，所以|S1－S2|的最大值为.