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- 2021-05-25 发布
专题五 数列
问题六 数列中的探索性问题
一、考情分析
近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查 生的探索能力，而且给 生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型 规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.
二、经验分享
(1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．
(2)探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同 们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同 们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同 们的数 素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的 习潜能，因而受到各方面的重视，近年 已成为高考试题的一个新亮点．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．
(3)存在型探索性问题通常假定题中的数 对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．
(4)处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论．
三、题型分析
(一) 条件探索性问题
【例1】已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数 ，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．
【分析】（Ⅰ）因为对任意的恒成立，所以取，又知为等差数列，为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由，得，设，则不等式等价于，问题转化为求的最小值，因，利用知单调递增，求的最小值，再根据求解；（Ⅲ）特殊情况时，成立，当d＞0时，，，由等比中项知，化简得，整理得 ，由，所以，根据，故，从而，所以公差d的所有可能取值之和为．
【解析】（Ⅰ）法1 设数列的公差为，数列的公比为．
因为
令分别得，，，又
所以即，
得或，经检验符合题意，不合题意，舍去．
所以．
①当为奇数时，得；
② 当为偶数时，得，即． , , ]
综上，，由是非零整数，可知存在满足条件．
（Ⅲ）易知d=0，成立．
当d＞0时，，
，
，
，
，
，
又，，
，，所以公差d的所有可能取值之和为．……16分
【点评】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问 会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差的要求，进而得到的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．
【小试牛刀】【2017届河北武邑中 高三上 期调研】已知数列的前项和为,且,又数列满足．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)当为何值时,数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）由，
当时，；当时，，
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由有则数列为等比数列，
则首项为满足的情况，故，
则
而是单调递增的，故[ . . ]
(二) 结论探索性问题
【例2】已知数列中，（为非零常数），其前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，求的值；
（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？
若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)先由得， ，两式相减整理得，， 再相减化为，故是等差数列，；(2)先求出代入整理得，只有且，解得；(3)先排除的情况，再求得时有，再由对任意正数成立可得 ，最后验证得．
【解析】（1）由已知，得，∴，
则有，∴，
即，，
两式相加，得，
即，
故数列是等差数列，
又，∴
（3）由，得，
若，则，不合题意，舍去；
若，则．
∵不等式成立的最大正整数解为，
∴，
即对任意正整数都成立，
∴，解得，
此时，，解得，
故存在实数满足条件，与的取值范围是，
【点评】判定一个数列为等差数列的常见方法是 ①验证时为同一常数；②验证时，恒成立；③验证；④验证．本题（1）运用了方法②．
【小试牛刀】【2017届河北武邑中 高三理周考】已知数列中，，且点在直线上．
⑴求数列的通项公式；
⑵若函数（，且），求函数的最小值；
⑶设，表示数列的前项和，试问 是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)；（2）；(3)，证明见解析.
【解析】⑴点在直线上，即，且，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，也满足，
⑵，
，
，
是单调递增的，故的最小值是．
⑶，，
即，
，
，．
故存在关于的整式，使等式对于一切不小于的自然数恒成立．
法二 先由的情况，猜想出，再用数 归纳法证明．
(三) 存在型探索问题
通常假定题中的数 对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．
【例3】【广东省茂名市五大联盟 校2018届高三3月联考】设数列的前n项和为，且满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数,使得数列为等差数列？若存在，求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【分析】
（1）由题意可得，据此有.且（）.，故，整理可得.数列是以2为首项,2为公比的等比数列，.
（2）由（1）知，，，必要条件探路，若为等差数列，则，，成等差数列，据此可得.经检验时，成等差数列，故的值为-2.
【解析】（1）由（），
可知当时，.
又由（）.
可得，
两式相减，得，
即，即.
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列
故.
（2）由（1）知，，
所以
若为等差数列，
则，，成等差数列，
即有，
即，
解得.
经检验时，成等差数列，
故的值为-2.
【小试牛刀】【2017安徽六安一中上 期周检】已知数列的前n项和为，，是6与2的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在,.
【解析】（1）解法一 因为是6与2的等差中项，
所以，即，
当时有
得，即对都成立
又根据有即，所以
所以.所以数列是首项为1，公比为的等比数列.
解法二 因为是6与2的等差中项
所以，即，
由此得，
又，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
得，即，
所以，当时，，
又时，也适合上式，所以.
（2）根据（1）的结论可知，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以其前项和为
原问题等价于恒成立.
当为奇数时，不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数不等式恒成立；
当为偶数时，等价于恒成立，
令，有，则等价于在恒成立，
因为为正整数，二次函数的对称轴显然在轴左侧，
所以当时，二次函数为增函数，故只须，解得，，所以存在符合要求的正整数，且最大值为11.
四、迁移运用
1．【2017福建厦门一中高二上 期期中】数列的前项和为，若，则符合的最小的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5[ X X ]
【答案】D
2．【2017届安徽淮北一中高三上 期四模】已知是等比数列, 公比为, 前项和是
，若 成等差数列，则（ ）
A．时， B．时，
C. 时， D．时，
【答案】B
【解析】成等差数列，即.，，，当时，，所以，选B.
3．【2017届河北武邑中 高三周考】若数列满足，且数列的前项和为，若实数满足对于任意都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由得
，两式相减得，又时，，所以所以，在时单调递增，可得，由题意可得解得.
4．【2017届安徽淮北一中高三上 期四模】已知数列与满足，若且对一切恒成立 ，则实数的取值范围是_________.
【答案】
5．【2017届山西临汾一中等五校高三联考】已知数列的通项公式，若对任意恒成立，则的取值范围是_____________ .
【答案】
【解析】∵对任意恒成立，∴时，，可得，解得．时，，化为 ，时，化为 ，解得；时，化为 ，解得．综上可得 ．∴的取值范围是．故答案为 ．
6．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题可知，①，②，由①-②得 ，则，所以，令，，，解得 ，所以的取值范围是.
7．【2017届江苏如东高级中 等四校高三12月联考】已知数列各项为正整数，满足．若，则所有可能取值的集合为__________．
【答案】
【解析】由题意得；当时，，从而；当时，，因此当时，；当时，，综上所有可能取值的集合为
8.设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.
【答案】
【解析】设设等差数列中的任意两项，由已知得，，，则，设是数列中的第项，则有，即，，故的所有可能取值为，其和为．
9．【江苏省扬州市2017-2018 年度第一 期期末调研】已知各项都是正数的数列的前
项和为，且，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列满足，求和；
（3）是否存在正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，，，若不存在，说明理由.
【解析】（1）①，②，
②-①得 ，即，
因为是正数数列，所以，即，
所以是等差数列，其中公差为1，
在中，令，得，
所以，
由得，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，
所以.
（2），裂项得，
所以，
（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，
因为，所以数列从第二项起单调递减，
当时，，
若，则，此时无解；
若，则，因为从第二项起递减，故，所以符合要求，
若，则，即，不符合要求，此时无解；
当时，一定有，否则若，则，即，矛盾，
所以，此时，令，则，所以，，
综上得 存在或，，满足要求.
10．数列满足 ， ，
(Ⅰ)判断与的大小关系，并证明你的结论；
(Ⅱ)求证 .
【解析】
Ⅰ) 当n为奇数时， <；当n为偶数时， >. 证明如下
，
两边同取倒数得
，
，
所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， ， ，所以当n为奇数时，
，即<；当n为偶数时， ， >.
当为偶数且时，
要证，
只需证，即证
，
令，则单调递减， ，
当为奇数且时，
要证，
只需证，
只需证，
即证，令，
则单调递减， ，
所以成立，
所以成立. -
11．【江苏省盐城中 2018届高三上 期期末】已知数列满足， ，其中， ， 为非零常数.
（1）若， ，求证 为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列是公差不等于零的等差数列.
①求实数， 的值；
②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问 是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1）当， 时， ，
.
又，不然，这与矛盾，
为2为首项，3为公比的等比数列，
， .
经检验，满足题意.
综上， ， ， .
②由①知.
设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.
1°若三个奇数一个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，
则 ，
，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.
2°若一个奇数三个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，
则 ， .
由504为偶数知， ， ， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
1）若， ， 中一个偶数两个奇数，不妨设， ， ，
则 ，这与251为奇数矛盾.
2）若， ， 均为偶数，不妨设， ， ，
则，继续奇偶分析知， ， 中两奇数一个偶数，
不妨设， ， ，则 .
因为， 均为偶数，所以为奇数，不妨设，
当时， ， ，检验得， ， ，
当时， ， ，检验得， ， ，
当时， ， ，检验得， ， ，
即， ， ， 或者， ， ， 或者， ， ， 满足条件，
综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列.
12．【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知数列为等差数列，公差为，其前项和为，且， .
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若数列满足， ，求满足的所有的值.
【解析】
（1）∵， ，
∴， ，得， ，∴，
∴ ，得，∴ ．
（2）∵， ，
∴
，
又
∴，
故由得
∴或．
13．【2017届湖南长沙雅礼中 高三月考】已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.
（注 区间的长度均为）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意知，
则，化简得，
解得，∴.
（2）由（1）可知.
当为偶数时，，易知随增大而增大，∴，此时；
当为奇数时，，易知随增大而减小，∴，此时
.
又，∴.故数列的“容值区间”长度的最小值为.
14．【2017届河南南阳一中高三上 期月考】已知数列的前项和满足（），设.
（1）求证 数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）按以下规律构造数列，具体方法如下 ，，，…，第项由相应的中项的和组成，求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在，①中，令，得，∴．
当时，，②
①②得 ，（），
∴，
∴，
又，∴，
又，所以数列是等差数列，
∴，又，∴．
（2）由题意得，
而，，，…，是首项为，公差为1的等差数列，
设数列共有项，
所以，．
15．【2017届福建连城县二中高三上 期期中】数列的前项和为，，（）．
（1）为何值时，数列是等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，等比数列，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
∴当时，，
两式相减得，即，
∴当时，数列是等比数列，
要使数列是等比数列，
当且仅当，即，从而．
16．【2017届江西鹰潭一中高三上 期月考】设等差数列的前项和为，，，若，且，数列的前项和为，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；
（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析．
【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，由，，，得又解得，，因此数列的通项公式是（），所以，
所以
（Ⅱ）因为（）且可得，
当时，；当时，，此时有，若是等比数列，则有，而，，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列．
17．【2017届河南中原名校豫南九校高三上 期质检四】设等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；[ ]
（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
18．【2017届江苏南京市盐城高三一模】若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）①6，②（Ⅱ）或.
【解析】（1）①方法一 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
，，.
方法二 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
∴，，，，，，，
∴当时，是周期为3的周期数列.
∴.
②方法一 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴，
∴是以为首项、6为公差的等差数列，
又，
，
，，设，则，
又，
当时，，；当时，，，
∴，∴，
∴，得.
方法二 ∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，
∴，
易知中删掉的项后按原 的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，
，
，
以下同方法一.
方法二 设的段长、段比、段差分别为、、，
①若，则，，，，
由，得；由，得，
联立两式，得或，则或，经检验均合题意.
②若，则，，，
由，得，得，则，经检验适合题意.
综上①②，满足条件的的通项公式为或.
19．【2017届江苏如东高级中 等四校高三12月联考】已知数列满足，，且对任意，都有．
（1）求，；
（2）设（）．
①求数列的通项公式；
②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）①②，
【解析】（1）由题意，令，，则，解得．
令，，则，解得．
（2）①以代替，得．
则，即．
所以数列是以为公差的等差数列．
，．
②因为．
所以．
则，，．
因为，，成等比数列，，即．
所以，．．
解得．
又，且，，则． -
所以存在正整数，，使得，，成等比数列．