【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第7讲　正弦定理与余弦定理学案 15页

第7讲　正弦定理与余弦定理 ‎1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R ‎(R为△ABC外接圆半径)‎ a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 形式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ＝ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.三角形中常用的面积公式 ‎(1)S＝ah(h表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝bcsin A＝acsin__B＝absin C；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). ‎ ‎3．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A; 已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(　　)‎ ‎(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)‎ ‎(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B．(　　)‎ ‎(4)在△ABC中，“a2＋b20)，由余弦定理得cos C＝＝＝－，‎ 又00，cos B＝.又0b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1，选A．‎ ‎2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B．在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，因为 AC＝，BC＝2，B＝60°，所以7＝AB2＋4－4×AB×，所以AB2－2AB－3＝0，所以AB＝3，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ADB中，AD＝AB×sin 60°＝，即BC边上的高为.‎ ‎3．(2018·宝鸡质量检测(一))如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB＝2，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.若PB＝1，则PA＝________．‎ 解析：依题意，在Rt△ABC中，AC＝＝4，sin∠ACB＝＝，所以∠ACB＝60°.在Rt△PBC中，PC＝＝，sin∠PCB＝＝，∠PCB＝30°，因此∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝30°.在△ACP中，AP＝＝.‎ 答案： ‎4．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________．‎ 解析：依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，因此cos∠ACD＝＝.在△ACD中，AD＝＝4，＝，sin A＝＝.在△ABC中，＝，BC＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎5．(2017·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，‎ 即c2＋2c－24＝0.‎ 解得c＝－6(舍去)，c＝4.‎ ‎(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.‎ 故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.‎ 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.‎ ‎6．(2017·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求sin(2B－A)的值．‎ 解：(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)，及余弦定理，得cos A＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，‎ 得sin B＝＝.‎ 由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.‎ 于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，‎ 故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A＝×－×＝－.‎