2018届二轮复习第13讲函数的零点个数问题的求解方法学案（全国通用） 9页

‎【知识要点】 ‎ 一、方程的根与函数的零点 ‎ （1）定义：对于函数（，把使成立的实数叫做函数（的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. ‎ ‎ （2）函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图像与轴的交点的横坐标，即：方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点.‎ ‎ （3）零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，这个也就是方程的根.‎ ‎ 函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有是函数在区间内至少有一个零点的一个充分不必要条件.‎ ‎ 零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.‎ 二、二分法 ‎（1）二分法及步骤 对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.‎ ‎（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：‎ 第一步：确定区间，验证，给定精确度.‎ 第二步：求区间的中点.‎ 第三步：计算：①若=0，则就是函数的零点；②若 ‎，则令 （此时零点）③若，则令（此时零点）‎ 第四步：判断是否达到精确度即若，则得到零点值或，否则重复第二至第四步.‎ 三、一元二次方程的根的分布 讨论一元二次方程的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：‎ ‎（1）的符号； （2）对称轴的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.‎ 四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入.‎ 五、方法总结 函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 方程法 使用情景 方程可以直接解出 .‎ 解题步骤 先解方程，再求解.‎ ‎【例1 】已知函数区间内有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出 .（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.‎ ‎【反馈检测1】函数在区间上的零点个数是（ ）‎ A．4 B．‎5 ‎‎ C．6 D． 7‎ 方法二 图像法 使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.‎ 解题步骤 先求函数的单调性，再画图分析. 学 ‎ ‎【例2】（2017全国高考新课标I理 数学）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎(2) ①若由（1）知至多有一个零点. ‎ ②若，由（1）知当时，取得最小值，.‎ ‎（i）当时，=0，故只有一个零点.‎ ‎（ii）当时，由于>0，即，故没有零点.‎ ‎（iii）当时，，即.‎ 故在只有一个零点.‎ ‎【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当时，要先判断的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是要说明，这里利用了放缩法，丢掉了.(3) 当时，要判断上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是，再放缩证明>0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性. ‎ ‎【例3】已知是函数的一个极值点.‎ ‎（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，‎ 所以的极大值为，极小值为 因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，因此，的取值范围为 ‎【点评】本题第(3)问，由于函数中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.‎ ‎【反馈检测2】已知函数，其中为实数，常数.‎ ‎(1) 若是函数的一个极值点，求的值；‎ ‎(2) 当时，求函数的单调区间；‎ ‎(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.‎ 方法三 方程图像法 使用情景 函数比较复杂，不容易求函数的单调性.‎ 解题步骤 先令,重新构造方程,再画函数的图像分析解答.‎ ‎【例4】函数的零点有 （ ） ‎ A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 y x ‎【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令,可化为,‎ 再在同一直角坐标系下画出 和的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用. ‎ ‎【反馈检测3】设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，讨论函数与图象的交点个数．‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：‎ 函数零点个数问题的求解方法参考答案 ‎【反馈检测1答案】‎ ‎【反馈检测2答案】（1）；（2）的单调增区间是，；‎ 的单调减区间是，，；（3）的取值范围是.‎ ‎【反馈检测2详细解析】(1) ‎ 因为是函数的一个极值点，所以，‎ 即.‎ 而当时，，‎ 可验证：是函数的一个极值点.因此. ‎ ‎(2) 当时，‎ 令得，解得，而.‎ 所以当变化时，、的变化是 极小值 极大值 因此的单调增区间是，；的单调减区间是，，； ‎ ‎【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是, 单调递减区间是；（2）．学 ‎ ‎【反馈检测3详细解析】（1）函数的定义域为．‎ 当时，,函数单调递减，‎ 当时，函数单调递增，‎ 综上，函数的单调递增区间是, 单调递减区间是．‎ ‎（2）令,问题等价于求函数的零点个数，,当时，，函数为减函数，‎ 综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．‎