2020届二轮复习（文）转化与化归思想课件（35张） 35页

四、转化与化归思想 总纲目录 应用一    一般与特殊的相互转化 应用二    正与反的相互转化 应用三    主与次的相互转化 应用四    形、体位置关系的相互转化 应用五    函数、方程、不等式间的相互转化 应用一    一般与特殊的相互转化 例1　 (1)在△ ABC 中,三边长 a , b , c 满足 a + c =3 b ,则tan   tan   的值为   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   (2)设四边形 ABCD 为平行四边形,|   |=6,|   |=4.若点 M , N 满足   =3   ,   = 2   ,则   ·   = 　　　     . C 解析 　(1)C　令 a =4, c =5, b =3,则符合题意(取满足条件的三边). 则由 C =90 ° ,得tan   =1. 由tan A =   ,得   =   , 解得tan   =   ,所以tan   tan   =   × 1=   . (2)答案　9 解析 　解法一:(特例法)若四边形 ABCD 为矩形,建系如图.   由   =3   ,   =2   ,知 M (6,3), N (4,4), 所以   =(6,3),   =(2,-1),   ·   =6 × 2+3 × (-1)=9. 解法二:(常规法)如图所示,   由题设知,   =   +   =   +     ,   =   -   =     -     , 所以   ·   =   ·   =   |   | 2 -   |   | 2 +     ·   -     ·   =   × 36-   × 16=9. 方法指导 化一般为特殊的应用技巧 (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特 殊位置等. (2)对于选择题,当题设在普通条件下都成立时,用特殊值进行探求,可快速得 到答案. (3)对于填空题,当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个 定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案. 1 .如果 a 1 , a 2 , … , a 8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ≠ 0,那么(　　) A. a 1 a 8 > a 4 a 5 　    B. a 1 a 8 < a 4 a 5 C. a 1 + a 8 > a 4 + a 5 　    D. a 1 a 8 = a 4 a 5 答案    B 　取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1 × 8<4 × 5成立. B 2 .在△ ABC 中,点 M , N 满足   =2   ,   =   .若   = x   + y   ,则 x + y = 　　          . 答案        解析 　不妨设 AC ⊥ AB ,且 AB =4, AC =3,以点 A 为坐标原点, AB , AC 所在直线分 别为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系,如图,   则 A (0,0), B (4,0), C (0,3), M (0,2), N   , 所以   =   ,   =(4,0),   =(0,3). 由   = x   + y   ,可得   = x (4,0)+ y (0,3), 即   =(4 x ,3 y ),则有   解得   所以 x + y =   -   =   . 应用二    正与反的相互转化 例2　 若二次函数 f ( x )=4 x 2 -2( p -2) x -2 p 2 - p +1在区间[-1,1]内至少存在一个值 c ,使 得 f ( c )>0,则实数 p 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　若在[-1,1]内没有值满足 f ( x )>0,则   ⇒   ⇒ p ≤ -3或 p ≥   ,故实数 p 的取值范围是   . 方法指导 正与反的转化要点 正与反的转化,体现“正难则反”的原则,先从反面求解,再取反面答案的补 集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对较少,从反 面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形 的问题中. 由命题“存在 x 0 ∈R,使   - m ≤ 0”是假命题,得 m 的取值范围是(- ∞ , a ),则实数 a 的取值集合是   (　　) A.(- ∞ ,1)　    B.(- ∞ ,2) C.{1}　    D.{2} 答案    C 　由命题“存在 x 0 ∈R,使   - m ≤ 0”是假命题,可知它的否定形式 “任意 x ∈R,使e | x -1| - m >0”是真命题,可得 m 的取值范围是(- ∞ ,1),而(- ∞ , a )与(- ∞ ,1)为同一区间,故 a =1. 应用三    主与次的相互转化 例3 　(1)若不等式 x 2 - ax +1 ≥ 0对一切 x ∈[-2,2]恒成立,则 a 的取值范围是   (    　) A.(- ∞ ,-2] B.[-2,2] C.(0,2] D.[2,+ ∞ ) (2)设 y =(log 2 x ) 2 +( t -2)log 2 x - t +1,当 t ∈[-2,2]时 y 恒取正值,则 x 的取值范围是 　     　　　　　     . B 解析　 (1)B　当 x =0时,原式为0 2 - a ·0+1 ≥ 0恒成立,此时 a ∈R; 当 x ∈(0,2]时,原不等式可化为 a ≤   ,而   ≥   =2, 当且仅当 x =1时等号成立, 所以 a 的取值范围是(- ∞ ,2]; 当 x ∈[-2,0)时,可得 a ≥   , 令 f ( x )=   = x +   , 由函数的单调性可知, f ( x ) max = f (-1)=-2, 所以 a ∈[-2,+ ∞ ). 综上可知, a 的取值范围是[-2,2]. (2) 答案        ∪ (8,+ ∞ ) 解析　 设 y = f ( t )=(log 2 x -1) t +(log 2 x ) 2 -2log 2 x +1, 则 f ( t )是一次函数. 当 t ∈[-2,2]时, f ( t )>0恒成立,则   即   解得log 2 x <-1或log 2 x >3,即0< x <   或 x >8, 故 x 的取值范围是   ∪ (8,+ ∞ ). 方法指导 主与次的转化要点 在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数),将其看作是 “主元”,而把其他变元看作是常量,从而达到减少变元简化运算的目的.通 常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”. 已知函数 f ( x )= x 3 +3 ax -1, g ( x )= f '( x )- ax -5,其中 f '( x )是 f ( x )的导函数.对任意 a ∈[-1, 1],都有 g ( x )<0,则实数 x 的取值范围是 　　　　　     . 答案        解析 　由题意,知 g ( x )=3 x 2 - ax +3 a -5, 令 φ ( a )=(3- x ) a +3 x 2 -5,-1 ≤ a ≤ 1. 由题意得   即   解得-   < x <1. 故 x 的取值范围是   . 应用四    形、体位置关系的相互转化 例4 　已知在三棱锥 P - ABC 中, PA = BC =2   , PB = AC =10, PC = AB =2   ,则三棱 锥 P - ABC 的体积为   (　　) A.40　    B.80 C.160　    D.240 C 答案    C 　因为三棱锥 P - ABC 的三组对边两两相等,所以可将此三棱锥放在 一个特定的长方体中(如图所示),把三棱锥 P - ABC 补成一个长方体 AEBG - FPDC .   易知三棱锥 P - ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线. 不妨令 PE = x , EB = y , EA = z ,则由已知,可得   ⇒   从而知 V P - ABC = V AEBG - FPDC - V P - AEB - V C - ABG - V B - PDC - V A - FPC = V AEBG - FPDC -4 V P - AEB =6 × 8 × 10-4 ×   ×   × 6 × 8 × 10=160. 方法指导 形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法.主要适用于 涉及平行、垂直的证明,如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面 位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化. 如图,在棱长为5的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, EF 是棱 AB 上的一条线段,且 EF = 2,点 Q 是 A 1 D 1 的中点,点 P 是棱 C 1 D 1 上的动点,则四面体 PQEF 的体积是   (　　)   A.变量且有最大值 B.变量且有最小值 C.变量且有最大值和最小值 D.常数 D 答案    D 　点 Q 到棱 AB 的距离为常数,所以△ EFQ 的面积为定值.由 C 1 D 1 ∥ EF , 可得棱 C 1 D 1 ∥平面 EFQ ,所以点 P 到平面 EFQ 的距离是常数,于是四面体 PQEF 的体积为常数. 应用五    函数、方程、不等式间的相互转化 例5 　已知函数 f ( x )=3e | x | .若存在实数 t ∈[-1,+ ∞ ),使得对任意的 x ∈[1, m ], m ∈Z, 且 m >1,都有 f ( x + t ) ≤ 3e x ,求 m 的最大值. 解析　 因为当 t ∈[-1,+ ∞ ),且 x ∈[1, m ]时, x + t ≥ 0, 所以 f ( x + t ) ≤ 3e x ⇔ e x + t ≤ e x ⇔ t ≤ 1+ln x - x . 所以原命题等价转化为存在实数 t ∈[-1,+ ∞ ), 使得不等式 t ≤ 1+ln x - x 对任意 x ∈[1, m ]恒成立. 令 h ( x )=1+ln x - x ( x ≥ 1),则 h '( x )=   -1 ≤ 0, 所以函数 h ( x )在[1,+ ∞ )内为减函数. 又 x ∈[1, m ],所以 h ( x ) min = h ( m )=1+ln m - m , t 值恒存在, 只需1+ln m - m ≥ -1. 因为 h (3)=ln 3-2=ln   >ln   =-1, h (4)=ln 4-3=ln   0, a ∈R, 存在 x 0 使得 f ( x 0 ) ≤ b 成立,则实数 b 的最小值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.1 C 答案    C　 函数 f ( x )可以看作动点 P ( x ,ln x 2 )与点 Q ( a ,2 a )的距离的平方,点 P 在 曲线 y =2ln x 上,点 Q 在直线 y =2 x 上,问题转化为直线上的点到曲线上的点的距 离的最小值的平方,由 y =2ln x 求导可得 y '=   ,令 y '=2,解得 x =1,此时 y =2ln 1=0,则 曲线上的点(1,0)到直线 y =2 x 的距离 d =   =   即为直线与曲线之间最 小的距离,故 f ( x ) min = d 2 =   .由于存在 x 0 使得 f ( x 0 ) ≤ b ,因此 f ( x ) min ≤ b ,即 b ≥   .故 选C. 2 .已知e为自然对数的底数,若对任意的 x ∈   ,总存在唯一的 y ∈[-1,1],使得 ln x - x +1+ a = y 2 e y 成立,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　设 f ( x )=ln x - x +1+ a ,当 x ∈   时, f '( x )=   ≥ 0, f ( x )是增函数,所以 x ∈   时, f ( x )∈   ;设 g ( y )= y 2 e y ,则 g '( y )=e y y ( y +2),则 g ( y )在[-1,0)上单调递减, 在[0,1]上单调递增,且 g (-1)=   < g (1)=e.因为对任意的 x ∈   ,总存在唯一的 y ∈[-1,1],使得 f ( x )= g ( y )成立,所以   ⊆   ,解得   < a ≤ e.