2018届二轮复习（文）专题七　概率与统计专题七第1讲课件（全国通用） 41页

第 1 讲 　概　率 专题七 　 概率与统计 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　古典概型 古典概型的概率 例 1 　 (2017· 山东 ) 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A 1 ， A 2 ， A 3 和 3 个欧洲国家 B 1 ， B 2 ， B 3 中选择 2 个国家去旅游 . (1) 若从这 6 个国家中任选 2 个 ，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； 解答 解　 由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有： { A 1 ， A 2 } ， { A 1 ， A 3 } ， { A 1 ， B 1 } ， { A 1 ， B 2 } ， { A 1 ， B 3 } ， { A 2 ， A 3 } ， { A 2 ， B 1 } ， { A 2 ， B 2 } ， { A 2 ， B 3 } ， { A 3 ， B 1 } ， { A 3 ， B 2 } ， { A 3 ， B 3 } ， { B 1 ， B 2 } ， { B 1 ， B 3 } ， { B 2 ， B 3 } ，共 15 个 . 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： { A 1 ， A 2 } ， { A 1 ， A 3 } ， { A 2 ， A 3 } ，共 3 个 ， (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A 1 但不包括 B 1 的概率 . 解答 思维升华 解　 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有： { A 1 ， B 1 } ， { A 1 ， B 2 } ， { A 1 ， B 3 } ， { A 2 ， B 1 } ， { A 2 ， B 2 } ， { A 2 ， B 3 } ， { A 3 ， B 1 } ， { A 3 ， B 2 } ， { A 3 ， B 3 } ，共 9 个 . 包括 A 1 但不包括 B 1 的事件所包含的基本事件有： { A 1 ， B 2 } ， { A 1 ， B 3 } ，共 2 个， 思维升华　 求古典概型概率的步骤 (1) 反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意 . (2) 判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件 . (3) 利用列举法求出总的基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m . (4) 计算事件 A 的概率 P ( A ) ＝ . 跟踪演练 1 　 (1) 有 2 个男生和 2 个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为 答案 解析 √ 解析　 设两男两女分别为 a 1 ， a 2 ， b 1 ， b 2 ，则基本事件分别是 ( a 1 ， a 2 ) ， ( a 1 ， b 1 ) ， ( a 1 ， b 2 ) ， ( a 2 ， a 1 ) ， ( a 2 ， b 1 ) ， ( a 2 ， b 2 ) ， ( b 1 ， a 2 ) ， ( b 1 ， a 1 ) ， ( b 1 ， b 2 ) ， ( b 2 ， a 2 ) ， ( b 2 ， a 1 ) ， ( b 2 ， b 1 ) ，基本事件总数 n ＝ 12 ， 其中 第二个上车的是女生的基本事件数 m ＝ 6 ，所以概率 P ＝ ， 故选 B. (2)(2017· 武汉调研 ) 若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是 6 的概率为 答案 解析 √ 解析　 由图表可知，点数和共有 36 种可能性，其中是 6 的共有 5 种， 所以 点数 和是 6 的概率 为 ， 故选 C. 两枚骰子 的点数 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 热点二　几何概型 1. 几何概型的概率公式： 2. 几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性 . 例 2 　 (1)(2016· 全国 Ⅱ ) 从区间 [0,1] 随机抽取 2 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， y 1 ， y 2 ， … ， y n ，构成 n 个数对 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， … ， ( x n ， y n ) ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为 答案 解析 √ 解析　 如图，数对 ( x i ， y i )( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 表示落在边长为 1 的正方形 OABC 内 ( 包括边界 ) 的点，而平方和小于 1 的点均在阴影区域中， 答案 解析 (2)(2017 届四川省成都市九校联考 ) 在区间 [0,4] 上随机产生两个均匀随机数分别赋给 a ， b ，则 | a － b | ≤ 1 的概率为 思维升华 √ 解析　 在区间 [0,4] 上随机产生两个均匀随机数分别赋给 a ， b ，区域面积为 16 ， 则 | a － b | ≤ 1 表示的区域面积为 16 － 9 ＝ 7 ， 思维升华　 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 . 跟踪演练 2 　 (1)( 2017· 石家庄模拟 ) 在长为 8 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，作一矩形，邻边长分别等于线段 AC ， CB 的长，则该矩形的面积小于 15 cm 2 的概率为 答案 解析 √ (2 )( 2017· 江西省赣中南五校联考 ) 如图所示的矩形，长为 5 ，宽为 2 ， 在矩形 内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗，则 我 们 可以估计出阴影部分的面积为 _____. 解析　 矩形面积为 10 ，设阴影部分面积为 S ， 答案 解析 热点三　互斥事件与对立事件 1. 事件 A ， B 互斥，那么事件 A ∪ B 发生 ( 即 A ， B 中有一个发生 ) 的概率，等于事件 A ， B 分别发生的概率的和，即 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ). 2. 在一次试验中，对立事件 A 和 B 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 P ( B ) ＝ 1 － P ( A ). 例 3 　 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为 0,1,2,3,4 的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于 7 则中一等奖，等于 6 或 5 则中二等奖，等于 4 则中三等奖，其余结果为不中奖 . (1) 求中二等奖的概率； 解答 解　 记 “ 中二等奖 ” 为事件 A . 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有 {0,1} ， {0,2} ， {0,3} ， {0,4} ， {1,2} ， {1,3} ， {1,4} ， {2,3} ， {2,4} ， {3,4} ，共 10 个基本事件 . 记两个小球的编号之和为 x ，由题意可知，事件 A 包括两个互斥事件： x ＝ 5 ， x ＝ 6. 事件 x ＝ 5 的取法有 2 种，即 {1,4} ， {2,3} ， (2) 求不中奖的概率 . 解答 思维升华 事件 x ＝ 7 的取法有 1 种，即 {3,4} ， 事件 x ＝ 4 的取法有 {0,4} ， {1,3} ，共 2 种， 思维升华　 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件 . 在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件 ( 即是否不可能同时发生 ) ，然后判断这两个事件是不是对立事件 ( 即是否必然有一个发生 ). 在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误 . 跟踪演练 3 　 (1) 从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A ＝ “ 所取的 3 个球中至少有 1 个白球 ” ，则事件 A 的对立事件是 A.1 个白球 2 个红 球 B.2 个白球 1 个红球 C.3 个都是红 球 D . 至少有一个红球 √ 解析 答案 解析　 事件 A ＝ “ 所取的 3 个球中至少有 1 个白球 ” 说明有白球，白球的个数可能是 1 或 2 ，和事件 “ 1 个白球 2 个红球 ” ， “ 2 个白球 1 个红球 ” ， “ 至少有一个红球 ” 都能同时发生，既不互斥，也不对立 . 故选 C. (2)(2017· 孝义模拟 ) 现有 4 张卡片，正面分别标有 1,2,3,4 ，背面完全相同 . 将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽 . 若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是 √ 解析 答案 Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上 的 数 的概率为 ____. 解析 1 2 3 答案 4 解析　 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件总数为 25 ，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10 ， 1 2 3 4 2.(2016· 全国 Ⅰ 改编 ) 某公司的班车在 7 ： 30,8 ： 00,8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的， 则他等 车 时间不超过 10 分钟的概率是 ____. 解析　 如图所示，画出时间轴： 答案 解析 1 2 3 4 3.(2016· 北京改编 ) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 . 甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 . 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是 ______. (1) 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球； (2) 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多； (3) 乙盒中红球不多于丙盒中红球； (4) 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 . (2) 答案 解析 1 2 3 4 解析　 取两个球往盒子中放有 4 种情况： ① 红＋红，则乙盒中红球数加 1 ； ② 黑＋黑，则丙盒中黑球数加 1 ； ③ 红＋黑 ( 红球放入甲盒中 ) ，则乙盒中黑球数加 1 ； ④ 黑＋红 ( 黑球放入甲盒中 ) ，则丙盒中红球数加 1. 因为红球和黑球个数一样，所以 ① 和 ② 的情况一样多 . ③ 和 ④ 的情况完全随机， ③ 和 ④ 对 (2) 中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何 影响 . ① 和 ② 出现的次数是一样的，所以对 (2) 中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样 . 故 (2) 正确 . 1 2 3 4 4.(2017· 江苏 ) 记函数 f ( x ) ＝ 的 定义域为 D . 在区间 [ － 4,5] 上随机 取 一 个数 x ，则 x ∈ D 的概率是 ____. 答案 解析 解析　 设事件 “ 在区间 [ － 4,5] 上随机取一个数 x ，则 x ∈ D ” 为事件 A ， 由 6 ＋ x － x 2 ≥ 0 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 3 ， ∴ D ＝ [ － 2,3] . 如图，区间 [ － 4,5] 的长度为 9 ，定义域 D 的长度为 5 ， 1 2 3 4 押题预测 答案 解析 押题依据　 古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高；古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点 . 1 2 3 押题依据 √ 4 1 2 3 解析　 将一骰子抛掷两次，所得向上的点数 ( m ， n ) 的所有事件为 (1,1) ， (1,2) ， … ， (6,6) ，共 36 个 . 所以 y ′ ＝ 2 mx 2 － n ≥ 0 在 [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，所以 2 m ≥ n ， 则不满足条件的 ( m ， n ) 有 (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， (1,6) ， (2,5) ， (2,6) ，共 6 种情况， 4 答案 解析 押题依据　 与长度 ( 角度、弧度、周长等 ) 有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大 . 1 2 3 2. 已知集合 M ＝ { x | － 1< x <4 ， x ∈ R } ， N ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ≤ 0} ，在集合 M 中任取一个元素 x ，则 “ x ∈ ( M ∩ N ) ” 的概率是 押题依据 √ 4 解析　 因为 M ＝ { x | － 1< x <4 ， x ∈ R } ＝ ( － 1,4) ， N ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ≤ 0} ＝ [1,2] ， 所以 M ∩ N ＝ [1,2] ， 1 2 3 4 1 2 3 3. 在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为 8 的小方块上 ( 铜板的直径是 4) ，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级 . 现有一人把铜板扔在小方块上，则晋级的概率 P 为 押题依据　 与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下 . 答案 解析 押题依据 √ 4 1 2 3 解析　 由题意分析知，铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径， 4 1 2 3 4. 抛掷一枚均匀的正方体骰子 ( 各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6) ，事件 A 表示 “ 朝上一面的数是奇数 ” ，事件 B 表示 “ 朝上一面的数不超过 2 ” ， 则 P ( A ∪ B ) ＝ ____. 押题依据　 事件之间关系的正确判断是解题的基础，将复杂事件拆分成 n 个互斥事件的和可以更方便求解事件的概率，体现了化归思想 . 答案 解析 押题依据 4 1 2 3 解析　 将事件 A ∪ B 分为：事件 C ： “ 朝上一面的数为 1,2 ” 与事件 D ： “ 朝上一面的数为 3,5 ” ，则 C ， D 为互斥事件， 4