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- 2021-05-24 发布
第十三讲 三角
一、知识拓展
1.三倍角公式：，，，，.
2. 两个有用的三角不等式：若是锐角，则，.
3.三角形中的一些三角恒等式：在△ABC中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩.
4. 锐角△ABC中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如.事实上，由，即得.由此对任意锐角△ABC，总有.
5. 对形如及
的式子，可乘以，再逐项积化和差，依次将各项一拆为二，达到相消的目的.
可推导出时，；.
6. 利用三角代换可解决一些函数值域问题.如，可令，，，，从而易得.
又如求的值域，注意到，令，则，从而.
二、热身练习
1. （2012“卓越联盟”）函数的值域是__________.
分析与解：令，，则，再用判别式法，求得.
2. （2005复旦）在△ABC中，，求.
分析与解：△ABC中，.设，，，则，，（舍去），或，即，
，.故.
3. （2011“卓越联盟”）已知，则__________.
分析与解：，.
所以
.
4. （2008上海交大）若，则__________.
分析与解：由条件平方得，.
5. （2003同济）已知，.
⑴求的最小值；⑵求取到最小值时的.
分析与解：设，，则，.再令，则，，，等号成立当且仅当，即.此时，，，，.又，故.
三、例题精讲
例1. 已知R，且，求的值．
分析构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解．
解法一由已知得，
现构造函数，由此得，
而函数在上是增函数，所以有，即．
解法二记，，
于是，又分别是R上的增函数，所以它们的图像与轴只有一个交点，而，即，
所以函数与的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称．
记的根分别是，则，所以．
例2. （1999年全国高中数学联赛题）已知当时，不等式恒成立，试求的取值范围．
解设，则由时恒成立，有，，，当
时，，令，则，，故，即，且，所求范围是：
反之，当时，有，且，于是只要，必有恒成立．
例3. （１９９１年全国高中联赛）求的值．
分析 本题的基本方法是降次、和差化积，从结构特征构造求解．
解法一 注意，且三角式是关于对称的，所以可以构造二元对称代换求值．
设，
则，
，
所以原式
．
解法二 利用，构造对偶模型求解．
设，
，则
，从而求出．
说明 三角式的结构特征分析在解题中的作用很大，往往能揭示问题的本质．本题也可以通过构造三角形等其它方法求解．
例4. 化简：．
分析 从结构特征入手，由于每个乘积项中的两个角相差都是，从两角差的正切公式化简入手．
解 由，变形得，其中．
从而原式．
例5. 在中，求证：．
证明 由正弦定理得即，①
将①式左边分子分母同乘以得,即，
同理可得，，三式相加即得证．
例6. （2011“华约”）A、B、C为△ABC的内角，且△ABC不为直角三角形.
⑴求证：；
⑵当，且、、的倒数成等差数列时，求的值.
分析与解：⑴证明：，，两边取正切，，.
⑵解：，.
由⑴知，所以，.又，
所以.即.
将代入，，.，（此时△ABC为等边三角形）或.
由于，所以或.
四、重点总结
在自主招生考试中，三角是一个重要的内容，占有固定的分值.这部分的题目基于高中数学基本的知识及方法，重点为三角函数的图像与性质、三角恒等变换以及解斜三角形，但是难度大大增加了.
考生在准备这一部分内容的时候，首先应该掌握三角的基本知识及方法，然后通过对自主招生考试难度的题目的训练，提升思维灵活性，同时需要注意到一些在高考中不要求的公式的运用，针对这方面进行强化训练.这样就能在自主招生考试中取得满意的成绩.
五、强化训练
A组
1. (2004年全国高中数学联赛)在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是．
分析利用正弦函数图像的对称性补形转化求解．
解 ，它的最小正周期为，振幅为．由的图像与的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成长为，宽为的长方形，故它的面积为．
2. (2003年全国数学联赛)若，则的最大值是 ．
分析化弦后利用单调性求解．
解，由于函数的每一部分在给定区间上都是增函数，所以当时取最大值为．
3. 求的值．
分析 从基本方法和构造法两个角度求解．
解法一 （和差化积逆用公式）
＝，
分子分母同乘，连续两次逆用二倍角公式得其值为．
解法二 （构造对偶式求解）
设，
．约去得．
解法三 （自身代换构造方程求解）
，
平方
．
得方程，从而解得．
解法四 （构造同形方程）
设，则同时满足该同形方程．
由二倍角公式得二次方程，
这表明是方程的两根，而且是全体根，由根与系数的关系得．
4. 已知R，则函数的最大值与最小值的和是．
解注意到，
显然的最大值为，可以通过作出和的图像得到的最小值是，
在时取得，而此时的值为，所以的最小值是，
从而最大值与最小值的和是．
5. 已知函数满足．若
，，比较与的大小关系．
解 发现函数的周期性，运用周期变换求解．
由得，两式相加得，即得，从而可知是以为周期的函数，所以
，即与的大小关系是．
6. 设分别是方程和在区间上的解，确定的大小关系．
解 构造函数，运用其单调性求解．
记，因为，
，所以在上有根，又在上单调递减，所以在上的根是唯一的．
同样记，由及在上单调递减，所以在上的根存在且是唯一的．
由两边取得
由于的解是唯一的，所以，
故．
7. 求证：．
分析 构造方程求解．
解由知是方程的根．设．
则，即．
令，对展开整理得
由是上述方程的三个根，
那么是方程的三个根，由根与系数的关系得，
开方即得．
8. 若均是整数（其中），且使得，求的值．
分析 角变换，使得为完全平方．
解
所以，．
9.（２００５年全国高中数学联赛）内接于单位圆，三个内角的平分线延长后分别交此圆于点，求的值．
分析 用正弦定理化边为角转化为三角式处理．
解 如图连接，则，
故，
同理，，
代入原式得
．
B组
1. （16届全苏竞赛题）三个数a,b,c，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．
解 运用单调性结合分类讨论求解．
（1）若，则，但由，故有矛盾，即a≠b．
（2）若，则由单调性可知，又由及题意可得，而，因此又可得，从而产生矛盾．
因此．
类似地，若，则由题意可得，从而可得与矛盾；若，则，即，，即矛盾．
综上可得：．
2. 已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数．若不等式对任意恒成立．求实数的取值范围．
解 先证明函数在上是增函数，运用单调性去掉后转化为不等式恒成立求解．
设，且，则，且．
∵在上是增函数，∴
又为奇函数∴．∴在上也是增函数．
即函数在和上是增函数，且在R上是奇函数，所以在上是增函数．
∵，
∴，，
，，
。
∵当时，的最大值为，
∴当时，不等式恒成立．
3. （２００４年河南省高中数学联赛预赛）在非直角中，边长满足．
（１） 证明：；
（２） 是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
分析 （１）化边为角进行三角式的变形；（２）运用结构特征构造函数．
证明 （１）由得，和差化积得
因为，所以有，
展开整理得，
故．
（２）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求与
之间的关系．
由及半角公式得，
对其展开整理得
即 ，
即，即
与原三角式作比较可知存在且．
4. 设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证：
（１）；
（２）；
（３）．
分析 利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证．
证明（１）由定比分点的向量形式得
，
由共线得，
即，又，
所以 图１
即，由正弦定理可得
．
（２）由，得，由定比分点公式的向量形式有．
又．下面求，，，
所以．
由得
．所以代入即得证．
（３）由（２）知，
所以，
由是三角形的重心有得代入并利用：整理即得．
5. 在非钝角中，，分别是的外心和内心，且，求．
分析 化边为角，利用三角形中的几何关系求值．
解 由已知条件及欧拉公式得，其中分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得
结合正弦定理消去边和得
，
又，
代入并分解因式得
即或，即或，
经验证这两个值都满足条件．