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- 2021-05-24 发布
“万有引力与航天”学前诊断
考点一
天体质量和密度的计算
1.[考查卫星运行及天体质量的计算]
[多选]2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则( )
A．高景一号卫星的质量为
B．高景一号卫星角速度为
C．高景一号卫星线速度大小为2π
D．地球的质量为
解析：选BD 高景一号卫星的质量不可求，选项A错误；由题意知，卫星绕地球做匀速圆周运动角速度ω＝，选项B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动线速度v＝，选项C错误；由v＝ωr得r＝，该卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mω2r，解得地球的质量M＝，选项D正确。
2．[考查天体密度的计算]
假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据万有引力与重力的关系解题。物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝。故选项B正确，选项A、C、D错误。
3．[考查天体密度的计算与比较]
“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器预计在2017年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg
月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表中数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为( )
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
＝6
A. B.
C．4 D．6
解析：选B 在地球表面，重力等于万有引力，则有G＝mg，解得M＝，故密度为ρ＝＝＝，同理，月球的密度为ρ0＝，故地球和月球的密度之比为＝＝6×＝，选项B正确。
4．[考查天体质量和密度的计算与运动规律的综合]
据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取g＝10 m/s2)( )
A．5∶2 B．2∶5
C．1∶10 D．10∶1
解析：选D 根据h＝和g＝可得，M＝，即ρπR3＝，行星平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝＝5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。
考点二
卫星运行参量的比较
5.[考查利用开普勒定律比较不同轨道卫星的周期]
如图所示，A、B是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，不计A、B两卫星之间的引力，则A、B两卫星的周期之比为( )
A．k3 B．k2
C．k D．k
解析：选A 设卫星绕地球做圆周运动的半径为r，周期为T，则在t时间内与地心连线扫过的面积为S＝πr2，即＝＝k，根据开普勒第三定律可知＝，联立解得＝k3，A正确。
6．[考查圆轨道、椭圆轨道卫星及运行参量的比较]
如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是( )
A．椭圆轨道的长轴长度为R
B．卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vB，则v0
解析：选C 根据开普勒第三定律得＝k，a为半长轴，已知卫星在两轨道上运动的卫星的周期相等，所以椭圆轨道的长轴长度为2R，故A错误；B点为椭圆轨道的远地点，速度比较小，v0表示做匀速圆周运动的速度，v0>vB，故B错误；根据牛顿第二定律得a＝，卫星在Ⅰ轨道距离地心的距离大于卫星在Ⅱ轨道A点距离地心的距离，所以a0