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- 2021-05-24 发布
贵州省凯里一中 2016-2017 学年高二第一学期期中考试试题
数 学
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间 120 分钟，共 150 分.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的. ）
1.某学校为了调查高一年级的 200 名学生完成课后作业所需时间，采取了抽样调查的方式：从学生
中随机抽取 20 名同学进行抽查。这种抽样的方法是( )
A．分层抽样 B．简单随机抽样 C．系统抽样 D．复杂随机抽样
2.函数 )2lg( xy 的定义域为（ ）
A． ,0 B． ，0 C． ,2 D． ，2
3.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，在下列选项中,互斥而不对立
的两个事件是（ ）
A．“至少有 1 名女生”与“都是女生” B．“至少有 1 名女生”与“至多有 1 名女生”
C．“恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生” D．“至少有 1 名男生”与“都是女生”
4.下列向量中，与向量 )3,4(a 垂直的是（ ）
A． )43( ， B． 3,4 C． )3,4( D． 43 ，
5．某学校数学兴趣班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所
示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m n 的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6.若右图输入 A=1，B=3 时，输出的结果是（ ）
A．1，3 B．4，1 C．4，-2 D．1，1
7.函数 2)( 3 xxf 的零点所在的区间是（ ）
A．（-1,0） B．（0,1） C．（1,2） D．（2,3）
8.下表是某厂1 4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份 x 1 2 3 4
用水量 y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程
是 0.7y x a ，则 a 等于（ ）
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
9.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取 20 名学生进行心
理测试，其中高三有学生 900 人，已知高一与高二共抽取了 14 人，则全校
学生的人数为（ ）
A．2400 B．2700 C．3000 D．3600
10.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s1、
s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 s1 与 s2 的关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不确定
11.如图所示的程序框图，若输出的 41S ，则判断框内应填入的条件是（ ）
A． 3?k B． 4?k C． 5?k D． 6?k
12. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 )(xfy ， 恒 有 )2()()4( fxfxf 成 立 ， 且 ， 1)0( f , 当
20 21 xx 时， 0)()(
21
21
xx
xfxf 则方程 0||lg)( xxf 的根的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。）
13. ABCD 为矩形， OBCAB ,1,2 为 AB 的中点，在矩形 ABCD 内随机取一点，取到的点到O
的距离大于1的概率为 ．
第 11 题
14.在等比数列 }{ na 中, ,8,16 41 aa 则 7a _________
15.二进制数 10102)化为十进制后为___________
16. 032)1,2( xyP 且与直线过点 平行的直线方程是_____________
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分 12 分）随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高（单
位： cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（2）现从乙班这 10 名同学中随机抽取 2 名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm的同学被抽中
的概率．
18．（本小题满分 12 分）某汽车公司为了考查某 4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访
调查，每个用户在到此店或保养后可以对该店进行打分，最高分为10 分．上个月公司对该 4S 店的
100 位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2) ，第
二组[2,4) ，第三组[4,6) ，第四组[6,8) ，第五组 8,10 ，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求所打分值在 6,10 的客户的人数；
（2）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查，之后将从这 6 人中
随机抽取 2 人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．
19．（本小题满分 10 分）y.co 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级．现从一批该零件中随
机抽取 20 个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零件等级恰
好相同的概率．
20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为平行
四边形，AB=3，AC=4，AD=5，SA 平面 ABCD.
（1）证明：AC 平面 SAB;
（2）若 SA=2，求三棱锥 A-SCD 的体积.
21.（本小题满分 12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 55, 20a S .
（1）求数列 na 的通项公式； （2）求使不等式 n nS a 成立的 n 的最小值.
22．（本小题满分 12 分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告
费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数
据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该
组的取值）；
（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广 告 投 入 x
（单位：万元）
1 2 3 4 5
销 售 收 益 y
（单位：万元）
2 3 2 7
表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算 y 关于 x 的
回归方程．
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 xbya
xnx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii
,
1
22
1 ．
2016-2017 学年度凯里一中洗马河校区高二数学半期考卷
答案
命题人：王庭光 审题人：杨再艺
第 I 卷（选择题）
1-5：BDCAC 6-10：BCDCA 11-12：BD
1.某学校为了调查高一年级的 200 名学生完成课后作业所需时间，采取了抽样调查的方式：从学生
中随机抽取 20 名同学进行抽查。这种抽样的方法是( B )
A．分层抽样 B．简单随机抽样 C．系统抽样 D．复杂随机抽样
2.函数 )2lg( xy 的定义域为（ D ）
A． ,0 B． ，0 C． ,2 D． ，2
3.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，在下列选项中,互斥而不对立
的两个事件是（ C ）
A．“至少有 1 名女生”与“都是女生”B．“至少有 1 名女生”与“至多有 1 名女生”
C．“恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生”D．“至少有 1 名男生”与“都是女生”
【答案】C
试题分析：“至少有 1 名女生”包含“都是女生”，所以 A 错误；“至少有 1 名女生”包含“（男，女）”
这种情况，所以与“至多有 1 名女生”不互斥，所以 B 错误；“恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生”
互斥，但不对立，C 正确；“至少有 1 名男生”与“都是女生”既互斥又对立，所以 D 错误 。
考点：互斥与对立。
4.下列向量中，与向量 )3,4(a 垂直的是（ A ）
A． )43( ， B． 3,4 C． )3,4( D． 43 ，
解析：若 1 1,a x y , 2 2,b x y , a b
(共线) b a 或 1 2 2 1x y x y （内外坐标相乘相等）
0a b a b 或 1 2 1 2 0x x y y
5．某学校数学兴趣班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所
示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m n 的值是（ C ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
试题分析：∵甲组学生成绩的平均数是 88，
∴由茎叶图可知 78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3
又乙组学生成绩的中位数是 89，∴n=9，
∴m+n=12
考点：茎叶图
6.若右图程序输入 A=1，B=3 时，输出的结果是（ B ）
A．1，3 B．4，1 C．4，-2 D．1，1
解析：A=1+3=4，B=4-3=1 所以答案为 B.
7.函数 2)( 3 xxf 的零点所在的区间是（ C ）
A .（-1,0） B .（0,1） C .（1,2） D .（2,3）
解析：判断 f(x)零点是否在(a,b)内：只要 (a) (b) 0f f 即可.
因为 (1) 1 2 1, (2) 8 2 6 (1) (2) 0f f f f
8.下表是某厂1 4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份 x 1 2 3 4
用水量 y 4.5 4 3 2.5
由散点图可知， 用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是
0.7y x a ，则 a 等于（ D ）
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
【答案】D
试题分析： 5 7 7 5, , 0.7 , 5.252 2 2 2x y a a ，故选 D.
考点：回归直线．
9.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取 20 名学生进行心理测试，其中高三有学生
900 人，已知高一与高二共抽取了 14 人，则全校学生的人数为（ C ）
A．2400 B．2700 C．3000 D．3600
【答案】C
试题分析： 300020
1420900 （人），故选 C.
考点：分层抽样．
10.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委打的分数用茎叶图
表示(如右图)．s1、s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 s1
与 s2 的关系是( A )
A．s1＞s2 B．s1＝s2
C．s1＜s2 D．不确定
解析：用方差公式
n
i
xxns
1
22 )(1 计算可得
11.如图所示的程序框图，若输出的 41S ，则判断框内应填入的条件是（ B ）
A． 3?k B． 4?k C． 5?k D． 6?k
【答案】B
试 题 分 析 ： 因 当 220221,1,0 SkkS ； 当
732231,2,2 SkkS ； 当
1847241,3,7 SkkS ； 当
41518251,4,18 SkkS ,运算程序结束,故应选 B．
考点：算法流程图的识读和理解．
12. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 )(xfy ， 恒 有 )2()()4( fxfxf 成 立 ， 且 ， 1)0( f , 当
20 21 xx 时， 0)()(
21
21
xx
xfxf 则方程 0||lg)( xxf 的根的个数为（ D ）
A．3 B．6 C．8 D．10
解析：因为当 20 21 xx 时， 0)()(
21
21
xx
xfxf ，所以
上单调递减，在或 ]10[)(0,0)()(0,0)()( 21212121 xfxxxfxfxxxfxf
0)2(0)2()2()2()2()2()(
)2()2()2()2()2()42(2
)2()()4(,x
ffffffxf
ffffffx
fxfxfR
是偶函数又
代入得可取
都有对于
求 方 程 0||lg)( xxf 的 根 的 个 数 ， 等 价 于 求 ||lg)( xxf 的 根 ， 又 等 价 于 求 两 个 函 数
||lg)( xyxfy 与 函数图的交点个数
如图这两个函数图象的草图上单调递减在而
轴对称函数图像都关于也是偶函数，所以它们是偶函数
]1,0[)(,1)0(,0)1(
||lg,)(
xfff
yxyxfy
第 II 卷（非选择题）
13. ABCD 为矩形， OBCAB ,1,2 为 AB 的中点，在矩形 ABCD 内随机取一点，取到的点到O
的距离大于1的概率为 ．
【答案】
41
试题分析：由图形可知
4112
1
2
11
2
P .
考点：几何概型．
14.在等比数列 }{ na 中, ,8,16 41 aa 则 7a ___-4______
解析：由等比数列性质 41664 77714
2 aaaaa
15.二进制数 101 0(2)化为十进制后为___10____
102820212021 0123 解析：
16. 032)1,2( xyP 且与直线过点 平行的直线方程是_____________
32)2(2)1(
2k32032
xyxy
xyxy
，即：
，所求直线方程为：由直线方程的点斜式知
其斜率解析：直线
三、解答题
17．（12 分）随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高（单位： cm ），
获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（1）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（2）现从乙班这 10 名同学中随机抽取 2 名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm的同学被抽中
的概率．
【答案】（１） 170 ；（２） 2
5
．
试题分析：（１）可设污损处的数据为 x ，由已知甲班同学身高平均数为170cm，可建立等式求得 x
的值；（２）利用古典概型，求出10 名学生中抽取 2 人的基本事件个数，即可求解．
试题解析：
甲班同学身高的平均数
1 158 162 163 168 168 170 171 179 182 17010 a ，
解得 179a ，所以污损处是 9．………………………………5 分
（2）设“身高176cm 的同学被抽中”的事件为 A ，
从乙班 10 名同学中抽取 2 名身高不低于173cm 的同学有：
181,173 , 181,176 , 181,178 , 181,179 , 179,173 , 179,176 , 179,178 ，
178,173 , 178,176 , 176,173 ，
共 10 个基本事件，
而事件 A 含有 4 个基本事件，
所以 4 2
10 5P A ． ……………………………………12 分
考点：平均数；古典概型．
【易错点睛】古典概型求解中的注意事项：（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定
要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．（2）用列举法求
古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．（3）注
意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
18．（12 分）某汽车公司为了考查某 4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个
用户在到此店或保养后可以对该店进行打分，最高分为 10 分．上个月公司对该 4S 店的 100 位到店
维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2) ，第二组[2,4) ，
第三组[4,6) ，第四组[6,8) a，第五组 8,10 ，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求所打分值在 6,10 的客户的人数；
（2）该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查，之后将从这 6 人中
随机抽取 2 人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．
【答案】（1）65（2）
8
15
试题解析：（1）由直方图知，所打分值在 6,10 的频率为 0.175 2 0.150 2 0.65 ，
所以所打分值在 6,10 的客户的人数为 0.65 100 65 人．…………………………5 分
（2）由直方图知，第二、三组客户人数分别为 10 人和 20 人，所以抽出的 6 人中，第二组有 2 人，
设为 A ， B ；第三组有 4 人，设为 a ，b ， c ， d ．
从中随机抽取 2 人的所有情况如下： AB ， Aa ， Ab ， Ac ， Ad ， Ba ， Bb ， Bc ， Bd ， ab ，
ac ， ad ，bc ， bd ， cd 共 15 种，
其中，两人来自不同组的情况有: Aa , Ab , Ac , Ad , Ba , Bb , Bc , Bd 共有 8 种，
所以，得到奖励的人来自不同组的概率为
8
15 ．………………………………12 分
考点：频率分布直方图，古典概型概率
19．(10 分)某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级．现从一批该零件中随机抽取 20 个，对
其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
(1)在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m，n；
(2)在(1)的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零件等级恰好
相同的概率．
解：(1)由频率分布表得 0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，
即 m＋n＝0.45.
由抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，
得 n＝ 2
20
＝0.1.
所以 m＝0.45－0.1＝0.35.………………………………4 分
(2)等级为 3 的零件有 20×0.15＝3 个，记作 x1，x2，x3；由(1)得，等级为 5 的零件有 2 个，记
作 y1，y2.
从 x1，x2，x3，y1，y2 中任意抽取 2 个零件，所有可能的结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，
(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共计 10 个．
记事件 A 为“从零件 x1，x2，x3，y1，y2 中任取 2 个，其等级相同”，则 A 包含的基本事件为(x1，
x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共 4 个．
故所求概率为 P(A)＝ 4
10
＝0.4.………………………………10 分
20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为平 行 四
边形，AB=3，AC=4，AD=5，SA 平面 ABCD.
（3）证明：AC 平面 SAB;
（4）若 SA=2，求三棱锥 A-SCD 的体积.
2 2 2(1) 2
, 4
6
BC AB AC AC AB
SA ABCD SA AC AC SA
AC AB
证明： 分
平面 即 分
平面S 分
1(2) 83
9
1 1= 4 3 6 102 2
1 1 6 2 4 123 3
A SCD S ACD ACD
ACD
A SCD S ACD ACD
V V S SA
SA ABCD SA
S AC CD
V V S SA
分
平面 是三棱锥S-ACD的高 分
分
分
21.（本小题满分 12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 55, 20a S .
（1）求数列 na 的通项公式； （2）求使不等式 n nS a 成立的 n 的最小值。
5 1 5 1 1 1
1
1
1
1
1
5 5 5(a a ) (a a 4d) (2a 4d)2 2 2
=5a +10d= 20
a 2 4 2 3
2 1 1 4
1 1 a 5
a 6
S
d
d
d
2 1解：(1)由题得a =a +d=-5 <1> 分
分
得 分
代入 得 =-6 分
an= +(n-1)d=-6+n-1=n-7 分
1 n
2
2
2
(a a )2
13( 6 7) 82 2 2
13 92 2
15 14 0
(n 1)(n 14) 0
1( ) n 14 11
15 12
n
n
n
n n nS n
n nS
n n
n
n
1 n n
n
（2）把a =-6,a =n-7代入S =
得 分
a 变为 n-7 分
舍 或 分
最小可取 分
22．（12 分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各
地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可
以确定横轴是从 0 开始计数的．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该
组的取值）；
（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入 x（单位：
万元）
1 2 3 4 5
销售收益 y（单位：
万元）
2 3 2 7
表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算 y 关于 x 的
回归方程．
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 xbya
xnx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii
,
1
22
1 ．
【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）5；（Ⅲ）5， 1.2 0.2y x
试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算小长方形的宽度；（Ⅱ）平均值
为各组的区间中点值与对应组频率乘积之和，由此可求平均值的估计值；（Ⅲ）首先由（Ⅱ）求得空
白处应为5，由此计算 yx, ，然后结合所给公式求 ab ˆ,ˆ ，从而求出回归直线方程．
试题解析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为 m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知
(0.08 0.1 0.14 0.12 0.04 0.02) 0.5 1m m ，故 2m ；…………3 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] ，
其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为 0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04 ，
故可估计平均值为1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.04 5 ；
…………………………………………………………………………………………7 分
（Ⅲ）空白栏中填 5．
由题意可知，
1 2 3 4 5 35x
，
2 3 2 5 7 3.85y
，
5
1
1 2 2 3 3 2 4 5 5 7 69i i
i
x y
，
5
2 2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 5 55i
i
x
，
根据公式，可求得 2
69 5 3 3.8 12 1.255 5 3 10b
， 3.8 1.2 3 0.2a ，
即回归直线的方程为 1.2 0.2y x ．…………………………………………12 分
考点：1、频率分布直方图；2、平均数；3、回归直线方程．
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