2018届二轮复习（理）　函数的单调性、极值与最值问题学案（全国通用） 3页

规范答题示例1　函数的单调性、极值与最值问题 典例1　(12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．‎ 审题路线图　―→―→.‎ 规 范 解 答 · 分 步 得 分 ‎ 构 建 答 题 模 板 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.‎ 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.‎ 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减. 5分 所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. 6分 ‎(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；‎ 当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，‎ 最大值为f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1.‎ 因此f ＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0. 9分 令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.‎ 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.‎ 因此，a的取值范围是(0,1). 12分 第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数．‎ 第二步 定符号：通过讨论确定f′(x)的符号．‎ 第三步 写区间：利用f′(x)的符号写出函数的单调区间．‎ 第四步 求最值：根据函数单调性求出函数最值.‎ 评分细则　(1)函数求导正确给1分；‎ ‎(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；‎ ‎(3)求出最大值给2分；‎ ‎(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；‎ ‎(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．‎ 跟踪演练1　(2017·山东)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；‎ ‎(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ 解　(1)由题意知f(π)＝π2－2.‎ 又f′(x)＝2x－2sin x，‎ 所以f′(π)＝2π.‎ 所以曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为y－(π2－2)＝2π(x－π)．‎ 即2πx－y－π2－2＝0.‎ ‎(2)由题意得h(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，‎ h′(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)＋ex(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)‎ ‎＝2ex(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(ex－a)(x－sin x)．‎ 令m(x)＝x－sin x，‎ 则m′(x)＝1－cos x≥0，‎ 所以m(x)在R上单调递增．‎ 因为m(0)＝0，‎ 所以当x＞0时，m(x)＞0；‎ 当x＜0时，m(x)＜0.‎ ‎①当a≤0时，ex－a＞0，‎ 当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；‎ 当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，‎ 所以当x＝0时，h(x)取到极小值，‎ 极小值是h(0)＝－2a－1.‎ ‎②当a＞0时，h′(x)＝2(ex－eln a)(x－sin x)，‎ 由h′(x)＝0，得x1＝ln a，x2＝0.‎ ‎(i)当0＜a＜1时，ln a＜0，‎ 当x∈(－∞，ln a)时，‎ ex－eln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；‎ 当x∈(ln a,0)时，‎ ex－eln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；‎ 当x∈(0，＋∞)时，‎ ex－eln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．‎ 所以当x＝ln a时，h(x)取到极大值，‎ 极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．‎ 当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；‎ ‎(ii)当a＝1时，ln a＝0，‎ 所以当x∈(－∞，＋∞)时，h′(x)≥0，‎ 函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；‎ ‎(iii)当a＞1时，ln a＞0，‎ 所以当x∈(－∞，0)时，ex－eln a＜0，h′(x)＞0，‎ h(x)单调递增；‎ 当x∈(0，ln a)时，ex－eln a＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，ex－eln a＞0，h′(x)＞0，‎ h(x)单调递增．‎ 所以当x＝0时，h(x)取到极大值，‎ 极大值是h(0)＝－2a－1；‎ 当x＝ln a时，h(x)取到极小值，‎ 极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．‎ 综上所述，‎ 当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；‎ 当0＜a＜1时，函数h(x)在(－∞，ln a)和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]，‎ 极小值是h(0)＝－2a－1；‎ 当a＝1时，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；‎ 当a＞1时，函数h(x)在(－∞，0)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0)＝－2a－1，极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．‎