华东师大版数学八年级上册课件3.角平分线 18页

3.角平分线 华东师大八年级上册 在一个三角形居住区内修有 一个学校P，P到AB、BC、CA三边 的距离都相等,请在三角形居住区 内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 新课导入 不利用工具，请你将一张用 纸片做的角分成两个相等的角。 你有什么办法？ A O B C （对折） 推进新课 探究角平分线的性质 ● (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的 距离相等. ●证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ● ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ● ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ● ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 0 ● ∵ OP=OP （公共边） ● ∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.） ● ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 12 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想 符号语言 题设：∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 结论：∴PD=PE P A O B C E D 12 (4)角平分线的性质定理： 判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴BD = DC ( ) A D C B 角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。 × A B C 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． O C B 1 A 2 P D E 证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 ∴∠PDO= ∠PEO=900 ∵PD=PE（已知） OP=OP（公共边） ∴Rt△PDO≌ Rt △PEO(H.L.) ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上 逆命题 角的内部到角两边的距 离相等的点在角的平分 线上. 题设∵PD=PE PD⊥OA， PE⊥OB 结论 ∴ OC平分 ∠AOB A C B E D P M H K 例题如图，在△ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P． 求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等． 证明：过点P作PM⊥AB、 PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分别 为M、K、H。 ∵BD平分∠CBM PM⊥AB、PK⊥BC ∴PK＝PM 同理PK＝PH ∴PK＝PM＝PH 即点P到三边AB、BC、AC的距 离相等 若求证点P在∠BAC的平分线 上，又该如何证明呢？ ● 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 提示：作∠AOB的平 分线，交直线l 于P就 是所求的点 随堂演练 练习： 如图,求作一点P,使PC=PD, 并且点P到∠AOB的两边的距离相等. C● D● A B O P 利用结论，解决问题 练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 想一想 在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的? 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。 P1 P2 P3 P4 l1 l2l3 3、如图，O是三条角平分线的交点， OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的 周长为15，求S△ABC A B C O M N G D 这节课我们学到了什么？ ①掌握了角平分线的性质定理及其 逆定理. ②利用角平分线性质定理证明两条 线段相等. 课堂小结 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业