圆的方程教案2 15页

‎ ‎ 圆的方程 一、知识点 ‎1、圆的标准方程 ‎2、圆的一般方程 ‎3、圆的参数方程 ‎4、根据恰当的条件写出圆的方程 ‎5、由圆的方程写出圆的半径和圆心 ‎6、由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系 ‎7、由圆的方程讨论两个圆的位置关系 二、能力点 ‎1、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程 ‎2、能根据恰当的条件写出圆的方程 ‎3、会由圆的方程写出圆的半径和圆心 ‎4、会由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程 ‎5、会由圆的方程讨论两个圆的位置关系 ‎6、进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力 ‎7、培养学生设参数、消参数解决问题的能力 三、学法指导 ‎1、求圆的方程可大致分为五种不同情形 ‎①给出圆的半径，隐含给出圆的圆心 ‎②给出圆的圆心，隐含给出圆的半径 ‎③给出圆经过两个定点及圆心通过某条已知直线 ‎④给定圆上三点 ‎⑤给出圆上一定点，一条圆的切线方程及圆心所在直线方程 ‎2、直线与圆的位置关系的判断 ‎⑴方程观点：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0时，直线与圆相交；Δ＝0时，直线与圆相切；Δ＜0时，直线与圆相离。‎ ‎⑵几何法(算出圆心到直线的距离d，然后比较d与半径R的关系)：当d＜R时直线与圆相交；d＝R时直线与圆相切；d＞R时直线与圆相离。‎ ‎3、两圆的位置关系 用几何法较好，设两圆的圆心的距离为d，两圆的半径分别为R1、R2，则：‎ ‎①d＞R1＋R2时两圆相离；‎ ‎②d＝R1＋R2时两圆外切；‎ ‎③d＜|R1－R2|时两圆内切；‎ ‎④R1－R2＜d＜R1＋R2时两圆相交；‎ ‎⑤d＜R1－R2两圆内含。‎ 15‎ ‎ ‎ ‎4、圆的参数方程是表示圆心为原点，半径为R的圆，由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的，用参数式求圆上的动点与某定点的距离，求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解，这样运算简洁，计算方便。‎ 四、重点与难点　‎ ‎1、重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用 ‎2、难点：直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究 五、课时安排　　三课时 第一课时　圆的标准方程 ‎●教学目标 ‎1．掌握圆的标准方程的形式特点；‎ ‎2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；‎ ‎3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径. ‎ ‎●教学重点 圆的标准方程 ‎●教学难点 根据条件建立圆的标准方程 ‎●教学方法 学导式 ‎●教学过程 设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。‎ 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径.‎ 按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.‎ ‎1．圆的标准方程：‎ ‎ (x―a)2＋(y―b)2＝r2‎ 其中圆心坐标为（a,b），半径为r 推导：如图7—32，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为 把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2‎ 当圆心在原点，这时圆的方程是：x2＋y2＝r2‎ 小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。‎ 课堂练习：1、P77　练习　1‎ 15‎ ‎ ‎ 写出下列各圆的方程 ‎⑴圆心在原点，半径是3；‎ ‎⑵圆心在点C(3,4)，半径是5；‎ ‎⑶圆心在点C(8,－3),经过点P(5,1)。‎ ‎2、说出下列圆的圆心、半径 ‎⑴(x－2)2＋(y＋3)2＝25‎ ‎⑵(x＋2)2＋(y－1)2＝36‎ ‎⑶x2＋y2＝4‎ ‎3、判断下列各点与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的位置关系：‎ ‎①A(1,1)；②B(0,1)；③C(3,1)。‎ 小结：点P(x0,y0)与(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系是 ‎　　　(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2等价于点P在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2等价于点P在圆外；‎ ‎(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2等价于点P在圆内。‎ ‎2．例题讲解：‎ 例1 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.‎ 回忆初中直线与圆的位置关系：‎ ‎①设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则d＞r等价于直线与圆相离；d＝r等价于直线与圆相切；d＜r等价于直线与圆相交。‎ ‎②从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。‎ ‎③从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0等价于直线与圆相交；Δ＝0等价于直线与圆相切；Δ＜0等价于直线与圆相离。‎ 解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.‎ 根据点到直线的距离公式，得 因此，所求的圆的方程是 说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识 例2 已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.‎ 解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线　‎ 垂直于过切点的半径，于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 15‎ ‎ ‎ ‎.‎ 经过点M的切线方程是：‎ 整理得：‎ 因为点M（x0，,y0）在圆上，所以 所求切线方程为：‎ 当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.‎ 猜测：已知圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，则经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程是(x－a) (x0－a)+(y－b) (y0－b)=r2.‎ 说明：例2结论要求学生熟记.，一题多解 例3 图7—34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.‎ 解：建立直角坐标系如图7—34所示.‎ 圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y－b)2=r2‎ 因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.‎ ‎ 解得b=－10.5, r2=14.52‎ 所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52‎ 把点P的横坐标x=－2代入圆方程得 答：支柱A2P2的长度约为.‎ 说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.‎ Ⅲ.课堂练习 课本P77 练习1，2，3，4‎ 思考题：‎ ‎1、圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的最小距离是__________。5‎ 15‎ ‎ ‎ ‎2．直线3x－4y+17=0被(x－2)2＋(y－2)2＝25所截得的弦长是_____________.8‎ ‎●归纳总结 ‎1数学思想：数形结合，‎ ‎2数学方法：解析法，图形法。‎ 通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。‎ ‎●作业　　　　习题7.7 1，2，3，4‎ 15‎ ‎ ‎ 第二课时　圆的一般方程 ‎●教学目标 ‎1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；‎ ‎2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件；‎ ‎3．进一步熟悉并掌握待定系数法.‎ ‎●教学重点 圆的一般方程应用 ‎●教学难点 待定系数法 教学过程 一、设置情境：‎ ‎1、求下列各圆的标准方程 ‎⑴圆心在直线y＝－x上，且过两点(2,0),(0,－4)；‎ ‎⑵圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0相切于点(2，－1)；‎ ‎⑶圆心在直线5x－3y＝8上，且与坐标轴相切。‎ ‎⑴(x－3)2＋(y＋3)2＝10；⑵(x－1)2＋(y＋2)2＝2；⑶(x－4)2＋(y－4)2＝16‎ ‎2、已知圆x2＋y2＝25，求：‎ ‎⑴过点A(4，－3)的切线方程；　　　　　　　　4x－3y－25＝0‎ ‎⑵过点B(－5，2)的切线方程。　　　　　　　　21x－20y＋145＝0或x＝－5‎ ‎2、圆的标准方程及其应用回顾：‎ ‎(x―a)2＋(y―b)2＝r2 其中圆心坐标为（a,b），半径为r 变形圆的标准方程 ‎ x2＋y2―2ax―2by＋a2＋b2－r2＝0‎ 由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：‎ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0　　　　　　　　　　　　①‎ 反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。‎ 将①的左边配方，整理得 ‎　　　　　②‎ ‎⑴当D2+E2－4F＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为的圆；‎ ‎⑵当D2+E2－4F＝0时，方程①只有实数解x＝―D/2,y＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)；‎ ‎⑶当D2+E2－4F＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。‎ 二、解决问题 15‎ ‎ ‎ ‎1、圆的一般方程：‎ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2+E2－4F＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为。‎ ‎2、二元二次方程表示圆的充要条件：‎ 由二元二次方程的一般形式：‎ Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0‎ 和圆的一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的系数比较， ‎ ‎（1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C≠0；‎ ‎（2）没有xy项，即B=0；‎ ‎（3）D2+E2－4AF＞0.‎ 练习：‎ ‎1、下列方程各表示什么图形？‎ ‎⑴x2 + y2 = 0‎ ‎⑵x2 + y2 －2x + 4y －6 = 0‎ ‎⑶x2 + y2 + 2ax－b2 = 0‎ ‎2、求下列各圆的圆心与半径 ‎⑴x2 + y2 －6y = 0‎ ‎⑵x2 + y2 + 2by = 0‎ ‎⑶x2 + y2 －4x + 6y －12= 0‎ 三、反思应用 例1 求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.‎ 解：设所求圆的方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0‎ 用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、‎ 因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得 ‎ 解得 于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0‎ 化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52‎ 所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）‎ 说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.‎ 例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.‎ 15‎ ‎ ‎ 解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.‎ 由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， ①‎ 将①式两边平方，得 化简得x2+y2+2x－3=0 ②‎ 化为标准形式得：(x+1)2+y2 = 4‎ 所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图7—35所示.‎ ‎　‎ 例3　求过原点及点A(1,1)且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。‎ 解：设所求圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则 又圆被x轴上截得的线段长为3，即|D|＝3‎ ‎∴D＝±3，当D＝3时，E＝－5，F＝0；当D＝－3时，E＝1，F＝0‎ 故所求的圆的方程为：x2 + y2 + 3x －5y = 0或x2 + y2 －3x ＋y = 0‎ ‎●课堂小结 圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程.‎ ‎●课后作业 习题7.7 5，6，7，8‎ 15‎ ‎ ‎ 第三课时　圆的方程 教学目标　‎ ‎⑴进一步掌握圆的标准方程与一般方程 ‎⑵能根据条件选择适当的形式求出圆的方程 ‎⑶进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力，培养学生对数学知识的理解能力、运用能力、判断能力。‎ 教学过程 知识掌握 A组：‎ ‎1、点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为（　）‎ A、9　　　　　　B、8　　　　　　　　C、5　　　　　　　　D、2‎ ‎2、由点M(－1,4)向圆(x－2)2＋(y－3)2＝1所引的切线的长是（　）‎ A、3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D、5‎ ‎3、过点M(2,3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程是___________________.‎ ‎4、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点M(a,b)与圆的位置关系是____________.‎ ‎5、求与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上且截直线y＝x所得弦长为的圆的方程。‎ 答案：1、D；2、A；3、x＝2和5x－12y＋20＝0；4、圆外；‎ ‎5、设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2‎ ‎∵圆心在直线x－3y＝0上,∴a＝3b①‎ ‎∵圆与y轴相切，∴r＝|a|＝|3b|②‎ ‎∵圆心(a,b)到直线y＝x的距离，即d2＝2b2 ,‎ 又圆截直线y＝x所得弦长为 ‎∴9b2＝2b2＋7③,由①②③解得：a=3,b=1,r=3或a=－3,b=－1,r=3‎ 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9‎ B组：‎ ‎1、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是（　）‎ A、k>－8/3 B、k<－8/3 C、－14‎ ‎2、两圆x2+y2=4与 x2+y2+4x－4y+4=0关于直线l对称，则l的方程是（　）‎ A、x＋y＝0　　　B、x＋y－2＝0　　C、x－y－2＝0　　D、x－y＋2＝0‎ ‎3、点A(3,5)是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦所在直线方程是_____.‎ ‎4、直线l过点P(3,0)，且被圆x2＋y2‎ 15‎ ‎ ‎ ‎－8x－2y＋12＝0截得的弦最短，则直线l方程是_____.‎ ‎5、求经过两圆x2+y2+6x－4＝0与 x2+y2+6y－28=0的交点且圆心在直线x－y－4＝0的圆的方程。‎ 答案：1、D；2、D；3、x－y＋2＝0；4、x－y－3＝0；‎ ‎5、设过两圆交点的圆为：x2+y2+6x＋λ(x2+y2+6y－28)=0‎ 则其圆心为，代入x－y－4＝0得 解得：λ＝－7，故所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0‎ 能力提高 例1　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0，求⑴t为何值时，方程表示圆？⑵当方程表示圆时，t为何值时，圆的面积最大？并求此时的圆的面积。‎ 分析：⑴D2+E2－4F＝4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)＝－28t2＋24t＋4＞0，解之得：－1/7＜t＜1；‎ ‎⑵由于S＝πr2，∴当r2最大时，S最大 又r2＝(D2+E2－4F)/4＝－7t2＋6t＋1＝－7(t－3/7)2＋16/7‎ ‎∴当t＝3/7时，r2有最大值16/7，此时Smax＝πr2＝16π/7。‎ 例2　如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（　）‎ A、［0,2］　　　　　B、［0,1］　　　　　　C、［0，1/2］　　　　　　D、（0，1/2］‎ 分析：圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C（1,2），由l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分知l过点C，结合图形知：0≤k≤2.‎ 课堂练习 ‎1、圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的公切线的条数。‎ 分析：两个圆的位置关系是外切，故公切线的条数为3‎ ‎2．已知实数x，y满足x2＋y2＋2x＋4y－20＝0，求⑴x＋y；⑵y/x；⑶x2＋y2的取值范围。‎ 分析： 由x2＋y2＋2x＋4y－20＝0得(x＋1)2＋(y＋2)2＝25，知圆心C(―1,―2)，半径r＝5‎ ‎⑴设t＝x＋y，则所求转化直线l：y＝－x＋t与圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝25有交点，求t的取值范围 从而有：，解之得：，即 ‎⑵设，则所求转化圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2‎ 15‎ ‎ ‎ ‎＝25上任一点P(x,y)与原点连线的斜率的取值范围。‎ 从而有：，解之得：，即 ‎⑶设，则所求转化圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝25上任一点P(x,y)到原点的距离平方的取值范围。‎ 归纳总结 数学思想：数形结合，等价转化 数学方法：配方法、待定系数法、交轨法、向量法 知识点：圆的标准方程、一般方程、直线与圆的位置关系 作业：创新作业3‎ 15‎ ‎ ‎ 第四课时　圆的参数方程 ‎●教学目标 ‎1．了解参数方程的概念；‎ ‎2．理解圆的参数方程中θ的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；‎ ‎3．会把圆的参数方程与普通方程进行互化.‎ ‎●教学重点 圆的参数方程 ‎●教学难点 圆的参数方程的理解和应用.‎ 设置情境：‎ ‎1．圆的标准方程与一般方程及其应用的回顾.‎ ‎2．对圆的标准方程进行联想变形得圆的参数方程.‎ Ⅱ. 1．参数方程与普通方程：‎ 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 ‎.‎ 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数.‎ 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.‎ 说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.‎ ‎2．圆的参数方程：‎ ‎①圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：‎ 推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图7—36）‎ 设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，∠P0OP=θ，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得 15‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎②圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程：‎ ‎ （θ为参数）‎ 推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量=（a,b）平移得到.‎ 即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使 因为，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）‎ 所以，由于点P1（x1,y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数θ，使 ‎ 所以.‎ ‎3．圆的参数方程化普通方程：‎ 方程组 ‎‎①‎ ‎②‎ 由①得 x－a=rcosθ ③‎ 由②得 y－b=rsinθ ④‎ ‎③2+④2得：（x－a）2+(y－b)2=r2‎ 即圆的普通方程。‎ 课堂练习：‎ ‎1、已知圆O的参数方程是：（0≤θ＜2π）‎ ‎⑴如果圆上点P所对应的参数θ＝5π/3，则点P的坐标是______；‎ 15‎ ‎ ‎ ‎⑵如果点,则点Q所对应的参数θ＝_______.‎ ‎2、把圆的参数方程化为普通方程 ‎（θ为参数）　　　　　　（θ为参数）‎ 变：　　（t为参数，且a≠0，b≠0）　　x2/a2－y2/b2＝1‎ ‎4．例题讲解 例1 如图7—38，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？‎ 解一：设点M的坐标是（x,y）.因为圆x2+y2=16的参数方程为 所以可设点P的坐标为（4cosθ,4sinθ）.由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为 所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.‎ 解二：设点M的坐标是（x,y），P(x0,y0)，‎ ‎∵M是线段PA的中点，又点A(12,0)，∴，即 ‎∵点P为x2+y2=16的动点，即x02+y02=16∴(2x－12)2＋(2y)2＝16，即(x－6)2＋y2＝4‎ 所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.‎ 变：⑴在本题条件下，若点M分PA成定比2∶1，求点M的轨迹方程。‎ ‎　　⑵在本题条件下，若PA被圆截得的弦为PB，点M为PB的中点，求点M的轨迹方程。‎ 15‎ ‎ ‎ 例2　经过圆x2＋y2＝4上的任一点P作x的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点M的轨迹方程。‎ 解一：设M(x,y)为线段PQ的中点 ‎∵圆x2＋y2＝4的参数方程是 又P为圆上一点　∴设P(2cosθ,2sinθ)，则Q(2cosθ,0)‎ 由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程 ‎　　‎ 消去参数θ得：x2/4＋y2＝1‎ 解二：设M(x,y)为线段PQ的中点，则点Q(x,0)‎ 由坐标中点公式得A(x,2y)，‎ 又P为圆上任一点，∴x2＋(2y)2＝4，即x2/4＋y2＝1‎ 小结：解决此类问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，找出解题途径。‎ ‎●课堂小结 通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用.‎ ‎●课后作业 习题7.7 9，10，11‎ 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