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- 2021-05-24 发布
第
1
讲 函数与方程思想、数形结合思想
高考定位
函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查
.
1.
函数与方程思想的含义
(1)
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法
.
(2)
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法
.
2.
函数与方程的思想在解题中的应用
(1)
函数与不等式的相互转化，对于函数
y
＝
f
(
x
)
，当
y
＞
0
时，就转化为不等式
f
(
x
)
＞
0
，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式
.
(2)
数列的通项与前
n
项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要
.
(3)
解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论
.
3.
数形结合是一个数学思想方法，包含
“
以形助数
”
和
“
以数辅形
”
两个方面，其应用大致可以分为两种情形：
(1)
借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；
(2)
借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质
.
4.
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
.
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合
.
热点一 函数与方程思想的应用
[
微题型
1]
不等式问题中的函数
(
方程
)
法
【例
1
－
1
】
(1)
f
(
x
)
＝
ax
3
－
3
x
＋
1
对于
x
∈
[
－
1
，
1]
，总有
f
(
x
)
≥
0
成立，则
a
＝
________.
(2)
设
f
(
x
)
，
g
(
x
)
分别是定义在
R
上的奇函数和偶函数，当
x
＜
0
时，
f
′(
x
)
g
(
x
)
＋
f
(
x
)
g
′(
x
)
＞
0
，且
g
(
－
3)
＝
0
，则不等式
f
(
x
)
g
(
x
)
＜
0
的解集是
________.
(2)
设
F
(
x
)
＝
f
(
x
)
g
(
x
)
，由于
f
(
x
)
，
g
(
x
)
分别是定义在
R
上的奇函数和偶函数，得
F
(
－
x
)
＝
f
(
－
x
)·
g
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
g
(
x
)
＝－
F
(
x
)
，即
F
(
x
)
在
R
上为奇函数
.
又当
x
＜
0
时，
F
′(
x
)
＝
f
′(
x
)·
g
(
x
)
＋
f
(
x
)
g
′(
x
)
＞
0
，
所以
x
＜
0
时，
F
(
x
)
为增函数
.
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以
x
＞
0
时，
F
(
x
)
也是增函数
.
因为
F
(
－
3)
＝
f
(
－
3)
g
(
－
3)
＝
0
＝－
F
(3).
所以，由图可知
F
(
x
)
＜
0
的解集是
(
－
∞
，－
3)
∪
(0
，
3).
答案
(1)4
(2)(
－
∞
，－
3)
∪
(0
，
3)
探究提高
(1)
在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；
(2)
函数
f
(
x
)
＞
0
或
f
(
x
)
＜
0
恒成立，一般可转化为
f
(
x
)
min
＞
0
或
f
(
x
)
max
＜
0
；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解
.
[
微题型
2]
数列问题的函数
(
方程
)
法
[
微题型
3]
解析几何问题的方程
(
函数
)
法
探究提高
解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个
(
或者多个
)
变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决
.
热点二 数形结合思想的应用
[
微题型
1]
利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点
解析
(1)
由
f
(
x
)
＝
|2
x
－
2|
－
b
有两个零点，
可得
|2
x
－
2|
＝
b
有两个不等的实根，
从而可得函数
y
＝
|2
x
－
2|
的图象与函数
y
＝
b
的图象有两个交点，如图所示
.
结合函数的图象，可得
0
＜
b
＜
2
，故填
(0
，
2).
(2)
根据题意，函数
y
＝
f
(
x
)
是周期为
2
的偶函数且
0
≤
x
≤
1
时，
f
(
x
)
＝
x
3
，
答案
(1)(0
，
2)
(2)B
探究提高
用图象法讨论方程
(
特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程
)
的解
(
或函数零点
)
的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式
(
不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数
)
，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解
(
或函数零点
)
的个数
.
[
微题型
2]
利用数形结合思想解不等式或求参数范围
探究提高
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个
(
或多个
)
函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答
.
[
微题型
3]
利用数形结合思想求最值
探究提高
破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究
.
直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论
.
1.
当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想
.
2.
借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解
(
证
)
不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解
.
3.
许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量
.
4.
在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的
.
5.
有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的
.
6.
利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象
.