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- 2021-05-24 发布
高考总复习：二项分布与正态分布
【考纲要求】
一、二项分布及其应用
1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念；
2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布；
3、能解决一些简单的实际问题。
二、正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【知识网络】
随机变量
二项分布
正态分布
离散型随机变量
【考点梳理】
考点一、条件概率
1．条件概率的定义
设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
要点诠释：
条件概率不一定等于非条件概率。若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
2．条件概率的性质
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
考点二、独立重复试验及其概率公式
1．事件的相互独立性
设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
2.判断相互独立事件的方法
(1)利用定义:
事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
(2)利用性质:A与B相互独立,则与,与, 与也都相互独立.
(3)具体模型
①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.
②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.
要点诠释：
要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。已知两个事件A、B，则
A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；
A、B都发生的事件为AB；
A、B都不发生的事件为；
A、B恰有一个发生的事件为∪；
A、B中至多有一个发生的事件为∪∪。
3．独立重复试验
（1）独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用表示第次试验结果，则
（2）独立重复试验的概率公式
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：
。
令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为
令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为
要点诠释：
1．独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
2．独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样。
3．n次独立重复试验常见实例：
①反复抛掷一枚均匀硬币
②已知产品率的抽样
③有放回的抽样
④射手射击目标命中率已知的若干次射击
⑤反复投篮
考点三、二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，
于是得到随机变量的概率分布如下：
0
1
…
K
…
N
p
…
…
由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作～，其中n,p为参数，并记
若～，则，。
要点诠释：
二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点。二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生。但是在试题中，有的问题是局部的二项分布概率的模型问题，解题时要注意这种特殊情况。同时要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把负号这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型公式解决。
考点四、正态分布
1.正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数其中实数和（>0）为参数，我们称
的图象（如图）为正态分布密谋曲线，简称正态曲线。
注：是正态分布的期望，是正态分布的标准。
（2）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=对称；
③曲线在x=处达到峰值
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙表示。
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a110)＝(1－0.6826)＝0.1587，
∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.1587＝0.8413.
∴及格人数为2000×0.841 3≈1683(人)．
【总结升华】解决此类问题，首先要确定μ与σ的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要注意关于直线x＝μ对称的区间上概率相等这一性质的应用。
举一反三：
【变式】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
【解析】∵X～，∴μ＝4，σ＝.
∴不属于区间(3,5]的概率为
P(X≤3)＋P(X>5)＝1－P(3