高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷 21页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页。全卷共 150 分。考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分散。在每个小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、集合 P＝｛x」x2－16<0｝,Q＝｛x」x＝2n，nZ｝,则 P  Q＝ A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量 a、b，若 a＋2b 与 a－2b 互相垂直，则  b a A. 4 1 B. 4 C. 2 1 D. 2 3、已知 2sin 2 3A  ＝ 3 2 ，A∈（0， ），则sin cosA A  A. 15 3 B． 15 3  C． 5 3 D． 5 3  4、在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则 a2a3a4a5a6a7a8a9 A. 81 B. 27 5 27 C. 3 D. 243 5、甲：A1、A2 是互斥事件；乙：A1、A2 是对立事件，那么 A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线 m、n 与平面 与  ，有下列四个命题： ①若 // , //m n  且 //  ，则 //m n ； ②若 ,m n   且  ，则 m n ； ③若 , //m n  且 //  ，则 m n ； ④若 // ,m n  且  ，则 //m n ； 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7、设 f(x)＝ x x   2 2lg ，则 )2()2( xfxf  的定义域为 A. ），（），（－ 4004  B.(－4,－1)  (1，4) C. (－2,－1)  (1，2) D. (－4,－2)  (2，4) 8、在 24 3 1        x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的有 A. 3 项 B. 4 项 C. 5 项 D. 6 项 9、设过点 P（x，y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点，若 1,2 ＝且 ABOQPABP  ，则点 P 的轨迹方程是 A. )0,0(12 33 22  yxyx B. )0,0(12 33 22  yxyx C. )0,0(132 3 22  yxyx D. )0,0(132 3 22  yxyx 10、关于 x 的方程   011 222  kxx ，给出下列四个命题： ①存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； ②存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； ③存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； ④存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 答案 一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题：11. 2 3 12. 0.94 13. (0， 3 4 ) 14. 78 15.（ 3 4  R3）`＝4 R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 注意事项： 第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡 相应位置上。 11、在  ABC 中，已知 4 33a ，b＝4，A＝30°，则 sinB＝ . 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0．80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为 。（精确到 0．01） 13、若直线 y＝kx＋2 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 有两个不同的交点，则 k 的取值范围 是 . 14、安排 5 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个 出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 15、半径为 r 的圆的面积 S(r)＝ r2,周长 C(r)=2 r，若将 r 看作(0，＋∞)上的 变量，则( r2)`＝2 r ○1 ， ○1 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1 的 式子： ○2 ○2 式可以用语言叙述为： 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 16、（本小题满分 12 分） 设向量 a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数 f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函数 f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式 f(x)≥ 2 3 成立的 x 的取值集。 17、（本小题满分 12 分） 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其 中一组。在参加活动的职工中，青年人占 42.5％，中年人占 47.5％，老年人占 10％。登山 组的职工占参加活动总人数的 4 1 ，且该组中，青年人占 50％，中年人占 40％，老年人占 10％。 为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活 动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本。试确定 （Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 18、（本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1，M 是底面 BC 边上的中 点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝2C1N. （Ⅰ）求二面角 B1－AM－N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点 B1 到平面 AMN 的距离。 19、（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x＝1 处取得极值－2，试 用 c 表示 a 和 b，并求 f(x)的单调区间。 20、（本小题 13 分） 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nn S n N  均在 函数 y＝3x－2 的图像上。 （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设 1 3   nn n aab ， nT 是数列{ }nb 的前 n 项和，求使得 20n mT  对所有 n N  都 成立的最小正整数 m。 21、（本小题满分 13 分） 设 ,A B 分别为椭圆 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b    的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 4x  为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 ,AP BP 分别与椭圆相交于 M A1 C1 B1 B C A N 异于 ,A B 的点 M N、 ，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。 （此题不要求在答题卡上画图） 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 25 分。 11． 3 2 12．0.94 13．（0， 4 3 ） 14．78 15． 3 24( )' 43 R R  ．球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 三、解答题 16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运 用三角函数的图像和性质的能力。 解：（Ⅰ）∵     2 2 2sin cos sin cos cos 1 1 3 21 sin 2 cos2 1 sin(2 )2 2 2 2 4 f x a a b a a a b x x x x x x x x                   （ ）＝ ∴  f x 的最大值为 3 2 2 2  ，最小正周期是 2 2   。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知   3 3 2 3sin(2 ) sin(2 ) 02 2 2 4 2 4 32 2 2 ,4 8 8 f x x x k x k k x k k Z                             即   3 2f x  成立的 x 的取值集合是 3| ,8 8x k x k k Z          . 17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设登山组人数为 x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、 _2 _1 _-1 _-2 _-3 _-4 _-2 _2 _4 _B_A _M _N c，则有 40% 3 10% 347.5%, 10%4 4 x xb x xc x x     ，解得 b=50%,c=10%. 故 a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40％、 50％、10％。 （Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为 3200 40% 604    （人）；抽取的中年人数为 3200 4  50％＝75（人）；抽取的老年人数为 3200 4  10％＝15（人）。 18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运 算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法 1：（Ⅰ）因为 M 是底面 BC 边上的中点，所以 AM  BC，又 AM  C 1C ,所以 AM  面 BC 1C 1B ，从而 AM  1B M, AM  NM，所以  1B MN 为二面角， 1B —AM—N 的平面角。 又 1B M= 2 2 1B B BM 1 51 4 2    ,MN= 2 2 1 4 5 4 9 6MC CN    , 连 1B N，得 1B N＝ 2 2 1 1 1 1 101 9 3B C C N    ，在  1B MN 中 ， 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 1 1 1 1 5 25 10 54 36 9cos 2 55 52 2 6 B M MN B NB MN B M MN         。故所求 二面角 1B —AM—N 的平面角的余弦值为 5 5 。 （Ⅱ）过 1B 在面 1 1BCC B 内作直线 1B H MN ，H 为垂足。又 AM  平面 1 1BCC B ，所以 AM  1B H。于是 1B H  平面 AMN，故 1B H 即为 1B 到平面 AMN 的距离。在 1 1R B HM 中， 1B H＝ 1B M 1 5 1sin 1 12 5B MH     。故点 1B 到平面 AMN 的距离为 1。 解法 2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 1B（0， 0，1），M（0， 1 2 ，0）, C(0,1,0), N (0,1, 2 3 ) , A ( 3 1, ,02 2  )，所以， 3( ,0,0)2AM  ， 1 1(0, ,1)2MB   , 1 2(0, , )2 3MN  。 因为 1 3 10 0 ( ) 0 1 02 2MB AM           所以 1MB AM  ,同法可得 MN AM  。 故﹤ 1,MB MN   ﹥为二面角 1B —AM—N 的平面角 ∴ cos ﹤ 1,MB MN   ﹥＝ 1 1 5 512 .55 5 2 6 MB MN MB MN          故所求二面角 1B —AM—N 的平面角的余弦值为 5 5 。 （Ⅱ）设 n=(x,y,z)为平面 AMN 的一个法向量，则由 ,n AM n MN   得 3 002 41 2 0 32 3 xx y zy z          故可取 3(0, ,1)4n   设 1MB  与 n 的夹角为 a，则 1 1 5 2 53cos 35 5 2 3 MB na MB n        。 所以 1B 到平面 AMN 的距离为 1 5 2 5cos 12 5MB a    。 19.本小题主要考查层数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能 力。 解：依题意有 '(1) 2, (1) 0,f f   而 ' 2(1) 3 2 ,f x ax b   故 1 2 3 2 0 a b c a b          解得 2 3 a c b c      从而 ' 2( ) 3 2 (2 3) (3 2 3)( 1)f x x cx c x c x        。 令 ' ( ) 0f x  ，得 1x  或 2 3 3 cx   。 由于 ( )f x 在 1x  处取得极值，故 2 3 13 c   ，即 3c   。 （1） 若 2 3 13 c   ，即 3c   ，则当 2 3, 3 cx       时， ' ( ) 0f x  ； 当 2 3 ,13 cx      时， ' ( ) 0f x  ；当 (1, )x  时， ' ( ) 0f x  ； 从而 ( )f x 的单调增区间为 2 3, , 1,3 c      ；单调减区间为 2 3 ,13 c     （2） 若 2 3 13 c   ，即 3c   ，同上可得， ( )f x 的单调增区间为  2 3,1 , ,3 c        ；单调减区间为 2 31, 3 c     20.本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分 析问题能力和推理能力。 解：（I）依题意得， 3 2,n nn S   即 23 2n n nS   。 当 n≥2 时，a  22 1 (3 2 ) 3 1 2( 1) 6 5n n n n n n n na s s              ; 当 n=1 时， 1 1 3a s  × 21 -2×1-1-6×1-5 所以 5( )6n n n Na     。 （II）由（I）得  1 3 1 1 1 1 (6 5) 6( 1) 5 2 6 5 6 1n n n b a a n n n n            ， 故 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 7 7 13 6 5 6 1 n n b n nT                             = 1 112 6 1n     。 因此，使得 1 112 6 1n     ﹤  20 m n N  成立的 m 必须满足 1 2 ≤ 20 m ，即 m≥10,故满足要 求的最小整数 m 为 10。 21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力。 解：（I）依题意得 2 2 4 a c a c   解得 2 1 a c    从而 b= 3 , 故椭圆方程为 2 2 14 3 x y  。 （II）解法 1：由（I）得 A（-2，0），B（2，0）。设 0, 0( )M x y 。 M 点在椭圆上，  2 2 0 3 44oy x   。 又 M 点异于顶点 0, 2 2.AB x   曲 P A M  三点共线可得 0 0 64, 2 yP x       . 从面   0 0 0 0 62, , 2, .2 yBM x y BP x             2 20 0 0 0 0 0 6 22 4 4 32 2 yBM BP x x yx x            . 将①式代入②式化简得  0 5 22BM BP x    02 x >0, BM BP   >0.于是 MBP 为锐角,从而 MBN 为钝角,故点 B 在以 MN 为 直径的圆内. 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 P（4， ）（   0），M（ 1x ， 1y ），N（ 2x ， 2y ），则直线 AP 的方程为 ( 2)6y x  ，直线 BP 的方程为 ( 2)2y x  。 点 M、N 分别在直线 AP、BP 上，  1y ＝ 6  （ 1x ＋2）， 2y ＝ 2  （ 2x －2）.从而 1y 2y ＝ 2 12  （ 1x ＋2）（ 2x －2）.③ 联立 2 2 ( 2),6 1.4 3 y x x y       消去 y 得（27＋ 2 ） 2x ＋4 2 x＋4（ 2 －27）＝0.  1x ，－2 是方程得两根，（－2）． 2 1 2 4( 27) 27x     ，即 1x ＝ 2 2 2(27 ) 27     . ④ 又 BM  ． BN  =（ 1x －2, 1y ）．( 2x －2, 2y )＝（ 1x －2）（ 2x －2）＋ 1y 2y . ⑤ 于是由③、④式代入⑤式化简可得 BM  ． BN  ＝ 2 2 5 27    （ 2x －2）. N 点在椭圆上，且异于顶点 A、B， 2 2x  <0. 又 0  ， 2 2 5 27    > 0, 从而 BM  ． BN  <0. 故 MBN MBN 为钝角，即点 B 在以 MN 为直径的圆内. 解法 3：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 M（ 1x ， 1y ），N（ 2x ， 2y ），则－2< 1x <2 , －2< 2x <2.又 MN 的中点 Q 的坐标为（ 1 2 1 2,2 2 x x y y  ）， 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1( 2) ( ) ( ) ( )4 2 2 4 x x y yBQ MN x x y y             化简得 2 BQ － 1 4 2 M N ＝（ 1x －2）（ 2x －2）＋ 1y 2y . ⑥ 直线 AP 的方程为 2 1 ( 2)2 yy xx   ，直线 BP 的方程为 2 2 ( 2)2 yy xx   . 点 P 在准线 x＝4 上，  1 2 1 2 6 2 2 2 y y x x   ，即 2 1 2 1 3( 2) 2 x yy x   . ⑦ 又M 点在椭圆上， 2 1 4 x ＋ 2 1 3 y ＝1，即 2 2 1 1 3 (4 ).4y x  ⑧ 于是将⑦、⑧式化简可得 2 BQ － 1 4 2 M N ＝ 5 4 1 2(2 )( 2) 0x x   . 从而 B 在以 MN 为直径的圆内. 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）（编辑：宁冈中学张建华） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页。全卷共 150 分。考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分散。在每个小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、集合 P＝｛x|x2－16<0｝,Q＝｛x|x＝2n，nZ｝,则 P Q＝（C） A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝ 解：P＝｛x|x2－16<0｝＝｛x|－4x4｝，故 P  Q＝｛－2，0，2｝，故选 C 2、已知非零向量 a、b，若 a＋2b 与 a－2b 互相垂直，则 a b    （D） A. 4 1 B. 4 C. 2 1 D. 2 解：由 a＋2b 与 a－2b 互相垂直（a＋2b）（a－2b）＝0a2－4b2＝0 即|a|2＝4|b|2|a|＝2|b|，故选 D 3、已知 2sin 2 3A  ，A∈（0， ），则sin cosA A  （A） A. 15 3 B． 15 3  C． 5 3 D． 5 3  解：由 sin2A＝2sinAcosA＝ 2 3 0，又 A∈（0， ）所以 A（0， 2  ），所以 sinA＋cosA0 又（sinA＋cosA）2＝1＋2sinAcosA＝ 5 3 故选 A 4、在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则 a2a3a4a5a6a7a8a9＝（ A ） A. 81 B. 27 5 27 C. 3 D. 243 解：因为数列｛an｝是等比数列，且 a1＝1，a10＝3，所以 a2a3a4a5a6a7a8a9＝ （a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选 A 5、甲：A1、A2 是互斥事件；乙：A1、A2 是对立事件，那么（B） A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。故选 B 6、关于直线 m、n 与平面 与  ，有下列四个命题：（D） ①若 // , //m n  且 //  ，则 //m n ； ②若 ,m n   且  ，则 m n ； ③若 , //m n  且 //  ，则 m n ； ④若 // ,m n  且  ，则 //m n ； 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 解：用排除法可得选 D 7、设 f(x)＝ x x   2 2lg ，则 )2()2( xfxf  的定义域为 A. ），（），（－ 4004  B.(－4,－1)  (1，4) C. (－2,－1)  (1，2) D. (－4,－2)  (2，4) 解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2 2 x 2 且－2 2 x 2 解得－4x－1 或 1x4 故选 B 8、在 24 3 1        x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的有（C） A. 3 项 B. 4 项 C. 5 项 D. 6 项 解： 72 4 24 3 1 24 243 1 r r r r r rT C x C x x － － ＋ ＝ （ ）＝ ，当 r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24 时，x 的 指数分别是 24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中 16，8，4，0，－8 均为 2 的整数 次幂，故选 C 9、设过点 P（x，y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点，点Q 与 点 P 关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 1,2 ＝且 ABOQPABP  ，则点 P 的轨迹方程是 （ D ） A. )0,0(12 33 22  yxyx B. )0,0(12 33 22  yxyx C. )0,0(132 3 22  yxyx D. )0,0(132 3 22  yxyx 解：设 P（x，y），则 Q（－x，y），又设 A（a，0），B（0，b），则 a0，b0，于是 BP x y b PA a x y  ＝（ ， － ）， ＝（ － ，－ ），由 2BP PA  ＝ 可得 a＝ 3 2 x，b＝3y，所以 x0，y0 又 AB  ＝（－a，b）＝（－ 3 2 x，3y），由 •OQ AB   ＝1 可得 )0,0(132 3 22  yxyx 故选 D 10、关于 x 的方程   011 222  kxx ，给出下列四个命题： ①存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； ②存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； ③存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； ④存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ A ） A．0 B．1 C．2 D．3 解 ： 关 于 x 的 方 程   011 222  kxx 可 化 为  22 21 1 0 1 1x x k x x     （ －） （ 或 －）…………（1） 或 22 21 1 0x x k  ＋（ －） （－1x1）…………（2） 1 当 k＝－2 时，方程（1）的解为 3 ，方程（2）无解，原方程恰有 2 个不同的实根 2 当 k＝ 1 4 时，方程（1）有两个不同的实根 6 2 ，方程（2）有两个不同的实根 2 2 ， 即原方程恰有 4 个不同的实根 3 当 k＝0 时，方程（1）的解为－1，＋1， 2 ，方程（2）的解为 x＝0，原方程恰有 5 个不同的实根 4 当 k＝ 2 9 时，方程（1）的解为 15 3 ， 2 3 3 ，方程（2）的解为 3 3 ， 6 3 ，即原 方程恰有 8 个不同的实根 选 A 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 注意事项： 第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡 相应位置上。 11、在  ABC 中，已知 4 33a ，b＝4，A＝30°，则 sinB＝ 3 2 . 解：由正弦定理易得结论。 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0．80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为 0.94 精确到 0．01） 解：P＝ 3 3 2 4 4 5 5 50.80 0.20 0.80 0.20 0.80C C   （ ）（ ）＋ （ ） ＋（ ）＝0.94 13、若直线 y＝kx＋2 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 4(0, )3________________ . 解：由直线 y＝kx＋2 与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 有两个不同的交点可得直线与圆的位置关 系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即 2 | 2 3 2 | 1 k k    1，解得 k(0， 3 4 ) 14、安排 5 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个 出场，不同排法的总数是 ________ 78 .(用数字作答) 解：分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有 4 4A 种排法 （2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有 1 1 3 3 3 3A A A 种排法 故共有 78 种不同排法 15、半径为 r 的圆的面积 S(r)＝ r2,周长 C(r)=2 r，若将 r 看作(0，＋∞)上的 变量，则( r2)`＝2 r ○1 ， ○1 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1 的 式子： 3 2 ________________________________________ __ 4 43 R R （ ） ＝ ○2 ○2 式可以用语言叙述为： ________________________________________ ____________________________ 球的体积函数的导数等于它的表面积函数 。 解：V 球＝ 34 3 R ，又 3 24 43 R R （ ） ＝ 故○2 式可填 3 24 43 R R （ ） ＝ ，用语言叙 述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。” ________________________________________ ____________________________ 球的体积函数的导数等于它的表面积函数 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 16、（本小题满分 12 分） 设向量 a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数 f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函数 f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式 f(x)≥ 2 3 成立的 x 的取值集。 解：（Ⅰ）∵     2 2 2sin cos sin cos cos 1 1 3 21 sin 2 cos2 1 sin(2 )2 2 2 2 4 f x a a b a a a b x x x x x x x x                   （ ）＝ ∴  f x 的最大值为 3 2 2 2  ，最小正周期是 2 2   。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知   3 3 2 3sin(2 ) sin(2 ) 02 2 2 4 2 4 32 2 2 ,4 8 8 f x x x k x k k x k k Z                             即   3 2f x  成立的 x 的取值集合是 3| ,8 8x k x k k Z          . 17、（本小题满分 12 分） 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其 中一组。在参加活动的职工中，青年人占 42.5％，中年人占 47.5％，老年人占 10％。登山 组的职工占参加活动总人数的 4 1 ，且该组中，青年人占 50％，中年人占 40％，老年人占 10％。 为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活 动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本。试确定 （Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 解：（Ⅰ）设登山组人数为 x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、 c，则有 40% 3 10% 347.5%, 10%4 4 x xb x xc x x     ，解得 b=50%,c=10%. 故 a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40％、 50％、10％。 （Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为 3200 40% 604    （人）；抽取的中年人数为 3200 4  50％＝75（人）；抽取的老年人数为 3200 4  10％＝15（人）。 18、（本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1，M 是底面 BC 边上的中 点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝2C1N. （Ⅰ）求二面角 B1－AM－N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点 B1 到平面 AMN 的距离。 解法 1：（Ⅰ）因为 M 是底面 BC 边上的中点，所以 AM  BC，又 AM  C 1C ,所以 AM  面 BC 1C 1B ，从而 AM  1B M, AM  NM，所以  1B MN 为二面角， 1B —AM—N 的平面角。 又 1B M= 2 2 1B B BM 1 51 4 2    ,MN= 2 2 1 4 5 4 9 6MC CN    , 连 1B N，得 1B N＝ 2 2 1 1 1 1 101 9 3B C C N    ，在  1B MN 中 ， 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 1 1 1 1 5 25 10 54 36 9cos 2 55 52 2 6 B M MN B NB MN B M MN         。故所求 二面角 1B —AM—N 的平面角的余弦值为 5 5 。 （Ⅱ）过 1B 在面 1 1BCC B 内作直线 1B H MN ，H 为垂足。又 AM  平面 1 1BCC B ，所以 AM  1B H。于是 1B H  平面 AMN，故 1B H 即为 1B 到平面 AMN 的距离。在 1 1R B HM 中， 1B H＝ 1B M 1 5 1sin 1 12 5B MH     。故点 1B 到平面 AMN 的距离为 1。 解法 2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 1B （0，0，1），M（0， 1 2 ，0）, C(0,1,0), N (0,1, 2 3 ) , A ( 3 1, ,02 2  )，所以， 3( ,0,0)2AM  ， 1 1(0, ,1)2MB   , 1 2(0, , )2 3MN  。 因为 1 3 10 0 ( ) 0 1 02 2MB AM           所以 1MB AM  ,同法可得 MN AM  。 故﹤ 1,MB MN   ﹥为二面角 1B —AM—N 的平面角 ∴ cos ﹤ 1,MB MN   ﹥＝ 1 1 5 512 .55 5 2 6 MB MN MB MN          故所求二面角 1B —AM—N 的平面角的余弦值为 5 5 。 （Ⅱ）设 n=(x,y,z)为平面 AMN 的一个法向量，则由 ,n AM n MN   得 3 002 41 2 0 32 3 xx y zy z          故可取 3(0, ,1)4n   设 1MB  与 n 的夹角为 a，则 1 1 5 2 53cos 35 5 2 3 MB na MB n        。 所以 1B 到平面 AMN 的距离为 1 5 2 5cos 12 5MB a    。 19、（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x＝1 处取得极值－2，试用 c 表示 a 和 b，并求 f(x)的 单调区间。 解：依题意有 '(1) 2, (1) 0,f f   而 ' 2(1) 3 2 ,f x ax b   故 1 2 3 2 0 a b c a b          解得 2 3 a c b c      从而 ' 2( ) 3 2 (2 3) (3 2 3)( 1)f x x cx c x c x        。 令 ' ( ) 0f x  ，得 1x  或 2 3 3 cx   。 由于 ( )f x 在 1x  处取得极值，故 2 3 13 c   ，即 3c   。 （3） 若 2 3 13 c   ，即 3c   ，则当 2 3, 3 cx       时， ' ( ) 0f x  ； 当 2 3 ,13 cx      时， ' ( ) 0f x  ；当 (1, )x  时， ' ( ) 0f x  ； 从而 ( )f x 的单调增区间为 2 3, , 1,3 c      ；单调减区间为 2 3 ,13 c     （4） 若 2 3 13 c   ，即 3c   ，同上可得， ( )f x 的单调增区间为  2 3,1 , ,3 c        ；单调减区间为 2 31, 3 c     20、（本小题 13 分） 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nn S n N  均在函数 y＝3x－2 的图像上。 （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设 1 3   nn n aab ， nT 是数列{ }nb 的前 n 项和，求使得 20n mT  对所有 n N  都 成立的最小正整数 m。 解：（I）依题意得， 3 2,n nn S   即 23 2n n nS   。 当 n≥2 时，a  22 1 (3 2 ) 3 1 2( 1) 6 5n n n n n n n na s s              ; 当 n=1 时， 1 1 3a s  × 21 -2×1-1-6×1-5 所以 5( )6n n n Na     。 （II）由（I）得  1 3 1 1 1 1 (6 5) 6( 1) 5 2 6 5 6 1n n n b a a n n n n            ， 故 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 7 7 13 6 5 6 1 n n b n nT                             = 1 112 6 1n     。 因此，使得 1 112 6 1n     ﹤  20 m n N  成立的 m 必须满足 1 2 ≤ 20 m ，即 m≥10,故满足要 求的最小整数 m 为 10。 21、（本小题满分 13 分） 设 ,A B 分别为椭圆 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b    的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 4x  为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 ,AP BP 分别与椭圆相交于 异于 ,A B 的点 M N、 ，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。 （此题不要求在答题卡上画图） 解：（I）依题意得 2 2 4 a c a c   解得 2 1 a c    从而 b= 3 , 故椭圆方程为 2 2 14 3 x y  。 （II）解法 1：由（I）得 A（-2，0），B（2，0）。设 0, 0( )M x y 。 M 点在椭圆上，  2 2 0 3 44oy x   。 又 M 点异于顶点 0, 2 2.AB x   曲 P A M  三点共线可得 0 0 64, 2 yP x       . 从面   0 0 0 0 62, , 2, .2 yBM x y BP x             2 20 0 0 0 0 0 6 22 4 4 32 2 yBM BP x x yx x            . 将①式代入②式化简得  0 5 22BM BP x    02 x >0, BM BP   >0.于是 MBP 为锐角,从而 MBN 为钝角,故点 B 在以 MN 为 直径的圆内. 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 P（4， ）（   0），M（ 1x ， 1y ），N（ 2x ， _2 _1 _-1 _-2 _-3 _-4 _-2 _2 _4 _B_A _M _N 2y ），则直线 AP 的方程为 ( 2)6y x  ，直线 BP 的方程为 ( 2)2y x  。 点 M、N 分别在直线 AP、BP 上，  1y ＝ 6  （ 1x ＋2）， 2y ＝ 2  （ 2x －2）.从而 1y 2y ＝ 2 12  （ 1x ＋2）（ 2x －2）.③ 联立 2 2 ( 2),6 1.4 3 y x x y       消去 y 得（27＋ 2 ） 2x ＋4 2 x＋4（ 2 －27）＝0.  1x ，－2 是方程得两根，（－2）． 2 1 2 4( 27) 27x     ，即 1x ＝ 2 2 2(27 ) 27     . ④ 又 BM  ． BN  =（ 1x －2, 1y ）．( 2x －2, 2y )＝（ 1x －2）（ 2x －2）＋ 1y 2y . ⑤ 于是由③、④式代入⑤式化简可得 BM  ． BN  ＝ 2 2 5 27    （ 2x －2）. N 点在椭圆上，且异于顶点 A、B， 2 2x  <0. 又 0  ， 2 2 5 27    > 0, 从而 BM  ． BN  <0. 故 MBN MBN 为钝角，即点 B 在以 MN 为直径的圆内. 解法 3：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 M（ 1x ， 1y ），N（ 2x ， 2y ），则－2< 1x <2 , －2< 2x <2.又 MN 的中点 Q 的坐标为（ 1 2 1 2,2 2 x x y y  ）， 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1( 2) ( ) ( ) ( )4 2 2 4 x x y yBQ MN x x y y             化简得 2 BQ － 1 4 2 M N ＝（ 1x －2）（ 2x －2）＋ 1y 2y . ⑥ 直线 AP 的方程为 2 1 ( 2)2 yy xx   ，直线 BP 的方程为 2 2 ( 2)2 yy xx   . 点 P 在准线 x＝4 上，  1 2 1 2 6 2 2 2 y y x x   ，即 2 1 2 1 3( 2) 2 x yy x   . ⑦ 又M 点在椭圆上， 2 1 4 x ＋ 2 1 3 y ＝1，即 2 2 1 1 3 (4 ).4y x  ⑧ 于是将⑦、⑧式化简可得 2 BQ － 1 4 2 M N ＝ 5 4 1 2(2 )( 2) 0x x   . 从而 B 在以 MN 为直径的圆内.