【数学】2020届一轮复习苏教版微专题二数列通项公式的常用求法学案 7页

微专题二　数列通项公式的常用求法 一、累加法、累乘法 例1 已知数列{an}满足an＋1＝an＋2·3n＋1，a1＝3，则数列{an}的通项公式为________．‎ 答案　an＝3n＋n－1 ‎ 解析　由an＋1＝an＋2·3n＋1，得 a2＝a1＋2×31＋1，‎ a3＝a2＋2×32＋1，‎ a4＝a3＋2×33＋1，‎ ‎…，‎ an＝an－1＋2×3n－1＋1，‎ 累加可得an＝a1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)＋(n－1)，‎ 又a1＝3，‎ ‎∴an＝2·＋n＋2＝3n＋n－1(n＝1时也成立)．‎ 例2 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.‎ 答案　 解析　原递推式可化为：‎ ‎[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，‎ ‎∵an＋1＋an>0，∴＝，‎ 则＝，＝，＝，…，＝，‎ 累乘可得＝，‎ 又a1＝1，∴an＝(n＝1时也成立)．‎ 跟踪训练1 (1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝_______.‎ 答案　4－ 解析　原递推式可化为 an＋1＝an＋－，‎ 则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－，‎ 累加得an＝a1＋1－.‎ 故an＝4－(n＝1时也成立)．‎ ‎(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2n·an，则an＝______.‎ 答案　‎ 解析　a1＝1，‎ a2＝2a1，‎ a3＝22a2，‎ ‎…，‎ an＝2n－1an－1，‎ 累乘得an＝2·22·23·…·2n－1＝，当n＝1时也成立，‎ 故an＝.‎ 二、换元法 例3 已知数列{an}，其中a1＝，a2＝，且当n≥3时，an－an－1＝(an－1－an－2)，求通项公式an.‎ 解　设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为 bn－1＝bn－2，{bn}是一个等比数列，‎ b1＝a2－a1＝－＝，公比为.‎ ‎∴bn＝b1·n－1＝n＋1，‎ 故an－an－1＝n，‎ an－1－an－2＝n－1，‎ ‎…，‎ a3－a2＝3，‎ a2－a1＝2，‎ 用累加法得an＝－n，当n＝1时也成立．‎ 跟踪训练2 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当n≥3时，an－2an－1＋an－2＝1，求通项公式an.‎ 解　当n≥3时，(an－an－1)－(an－1－an－2)＝1，‎ 令bn－1＝an－an－1，‎ ‎∴bn－1－bn－2＝1，‎ ‎∴{bn}是等差数列，‎ 其中b1＝a2－a1＝1，公差为1，‎ ‎∴bn＝n，‎ ‎∴b1＋b2＋…＋bn－1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝an－1，‎ ‎∴an－1＝n(n－1)，‎ ‎∴an＝(n＝1时也成立)．‎ 三、构造等差数列求通项 例4 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2·3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式．‎ 解　an＋1＝3an＋2·3n＋1，两边同除以3n＋1，得 ＝＋2，‎ ‎∴是以＝1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，‎ ‎∴an＝(2n－1)·3n.‎ 例5 若数列{an}中，a1＝2且an＝(n≥2)，求它的通项公式an.‎ 解　将an＝两边平方整理，得a－a＝3.‎ 数列{a}是以a＝4为首项，3为公差的等差数列．‎ 故a＝a＋(n－1)×3＝3n＋1.‎ 因为an>0，所以an＝.‎ 例6 已知数列{an}中，a1＝1，且当n≥2时，an＝，求通项公式an.‎ 解　将an＝两边取倒数，得 －＝2，‎ 这说明是一个等差数列，‎ 首项是＝1，公差为2，‎ 所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝.‎ 跟踪训练3 (1)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.‎ ‎①证明：数列是等差数列；‎ ‎②求数列{an}的通项公式．‎ ‎①证明　由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，‎ 得＝＋，即－＝.‎ 由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．‎ ‎②解　由(1)知＝＋(n－1)×＝，‎ 故an＝n·3n－1，n∈N*.‎ ‎(2)已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝________.‎ 答案　 解析　易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，∴－＝1(n≥2，n∈N*)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，∴a10＝.‎ 四、构造等比数列求通项 例7 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．‎ 解　由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ 又a1＋1＝2，‎ ‎∴{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，‎ ‎∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.‎ 例8 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式an.‎ 解　原递推式可化为 an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)，①‎ 比较系数得λ＝－4，①式为：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．‎ 则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项为a1－4·31－1＝－5，公比是2.‎ ‎∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，‎ 即an＝4·3n－1－5·2n－1.‎ 例9 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，则an＝________.‎ 答案　‎ 解析　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，‎ 所以log2an＋1＝2log2an，即＝2.‎ 又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1.‎ 故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 所以log2an＝2n－1，即an＝.‎ 跟踪训练4 (1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式是an＝________.‎ 答案　‎ 解析　由题意知an>0，将an＋1＝a两边取对数，得 lg an＋1＝2lg an，‎ 即＝2，‎ 又lg a1＝lg 3，‎ 所以数列{lg an}是以lg 3为首项，公比为2的等比数列，‎ lg an＝lg a1·2n－1＝，故an＝.‎ ‎(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝________.‎ 答案　 解析　由已知可得＝＝＋4，‎ ‎∴＋2＝＋6＝3，‎ 又＋2＝3，‎ ‎∴是以3为首项，以3为公比的等比数列，‎ ‎∴＋2＝3n，∴an＝.‎ ‎(3)数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－2an＋3n，则an＝________.‎ 答案　·3n＋·(－2)n－1‎ 解析　由已知可设an＋1＋λ·3n＋1＝－2(an＋λ·3n)，‎ 比较系数可得λ＝－，‎ 即an＋1－·3n＋1＝－2，‎ 又a1－＝，‎ ‎∴是以为首项，－2为公比的等比数列，‎ ‎∴an－·3n＝·(－2)n－1，‎ ‎∴an＝·3n＋·(－2)n－1.‎ 五、归纳推理法 例10 (1)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn＋1Sn，则Sn＝________.‎ 答案　－ 解析　由a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1可得a2＝S1S2＝a1(a1＋a2)，‎ 故a2＝＝，‎ 同理可得a3＝＝，a4＝＝，…，‎ 由此猜想当n≥2时，有an＝＝－，‎ 所以当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝－1＋＋＋＋…＋＝－.‎ 又因为S1＝－1也适合上式，所以Sn＝－.‎ ‎(2)已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 018＝________.‎ 答案　 解析　因为a1＝，‎ 根据题意得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，‎ 所以数列{an}是以4为周期的数列，‎ 又2 018＝504×4＋2，所以a2 018＝a2＝.‎ 跟踪训练5 (1)在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于________．‎ 答案　78‎ 解析　由题意，当n为奇数时，an＋1－an＝2n－1，an＋2＋an＋1＝2n＋1，‎ 两式相减得an＋2＋an＝2；‎ 当n为偶数时，an＋1＋an＝2n－1，an＋2－an＋1＝2n＋1，‎ 两式相加得an＋2＋an＝4n.‎ 所以S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)‎ ‎＝2×3＋4(2＋6＋10)＝78.‎ ‎(2)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018的值为________．‎ 答案　5‎ 解析　依题意得，a1＝2，a2＝3，‎ a3＝a2－a1＝3－2＝1，‎ a4＝a3－a2＝1－3＝－2，‎ a5＝a4－a3＝－2－1＝－3，‎ a6＝a5－a4＝－3－(－2)＝－1，‎ a7＝a6－a5＝－1－(－3)＝2，‎ a8＝a7－a6＝2－(－1)＝3，‎ ‎…，‎ 所以数列{an}是周期为6的周期数列．‎ 又因为2 018＝6×336＋2，‎ 所以S2 018＝(2＋3＋1－2－3－1)×336＋2＋3＝5.‎ ‎(3)用{x}表示不小于x的最小整数，例如{2}＝2，{1.2}＝2，{－1.1}＝－1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，则＝________.‎ 答案　1‎ 解析　∵a1＝1，an＋1＝a＋an，‎ ‎∴an>1，＝＝＝－，‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴＋＋…＋ ‎＝－＋－＋…＋－ ‎＝－＝1－.‎ ‎∵0<1－<1，∴＝1.‎