2018届二轮复习高考大题·规范答题示范课(三)数列类解答题课件（全国通用） 15页

高考大题 · 规范答题示范课 ( 三 ) 数列类解答题 【 命题方向 】 1. 等差、等比数列的应用：证明数列为等差数列还是等比数列，求数列的通项公式，求某数列的前 n 项和 . 2. 数列求和及与不等式的综合问题：以等差、等比数列为载体，求数列的通项公式，求某数列的前 n 项和或证明不等式、求参数等 . 【 典型例题 】 (12 分 )(2016· 全国卷 Ⅲ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =1+λa n ，其中 λ≠0. (1) 证明 {a n } 是等比数列，并求其通项公式 . (2) 若 S 5 = 　 ，求 λ. 【 题目拆解 】 本题可拆解成以下几个小问题： (1)① 求 a 1 ； ②证明 {a n } 是等比数列； ③求 {a n } 的通项公式 . (2)① 求 S n ； ②求 λ 的值 . 【 标准答案 】 (1) 由题意得 a 1 =S 1 =1+λa 1 ， 故 λ≠1 ， a 1 = 　　，故 a 1 ≠0. ……… 1 分　得分点① 由 S n =1+λa n ， S n+1 =1+λa n+1 得 a n+1 =λa n+1 -λa n ， 即 a n+1 (λ-1)= λa n ， … ……………… 1 分　得分点② 由 a 1 ≠0,λ≠0 , 得 a n ≠0 ，所以　　 ……… 1 分　 得分点③ 因此 {a n } 是首项为　　，公比为　　的等比数列， ………………………………………… 1 分　得分点④ 于是 a n = 　 　　 ……………… 2 分　得分点⑤ (2) 由 (1) 得 S n =1- 　　　 .… ………… 2 分　得分点⑥ 由 S 5 = 　 得 ，即　　 　　， … …………………………………… 2 分　得分点⑦ 解得 λ=-1. ………………………… 2 分　得分点⑧ 【 评分细则 】 第 (1) 问踩点说明 ( 针对得分点①②③④⑤ ) ： ①求出 a 1 得 1 分 . ② 正确变形，得出 a n 与 a n+1 之间的关系得 1 分 . ③ 正确写出　　　 得 1 分 . ④ 正确叙述结论得 1 分，没有此步扣 1 分 . ⑤ 求出通项正确得 2 分，错误不得分 . 第 (2) 问踩点说明 ( 针对得分点⑥⑦⑧ ) ： ⑥求出前 n 项和得 2 分 . ⑦ 正确代入化简得 2 分 . ⑧ 求出 λ 的值，正确得 2 分，错误不得分 . 【 高考状元满分心得 】 1. 牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或 等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定 义是解决问题的关键，如本题第 (1) 问，要根据定义判 断 2. 注意利用第 (1) 问的结果：在题设条件下，如果第 (1) 问的结果第 (2) 问能用得上，可以直接用，有些题目不用第 (1) 问的结果甚至无法解决，如本题即是在第 (1) 问的基础上求得前 n 项和 . 3. 写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证 . 如本题第 (1) 问要充分体现等比数列判断的全过程，如得分点①②③④⑤；第 (2) 问展示求 λ 的过程，如得分点⑥⑦⑧ . 【 跟踪训练 】 (2016· 全国卷 Ⅱ) S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，且 a 1 =1 ， S 7 =28. 记 b n =[ lga n ] ，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9]=0 ， [lg99]=1. (1) 求 b 1 ， b 11 ， b 101 . (2) 求数列 { b n } 的前 1000 项和 . 【 题目拆解 】 本题可化整为零，拆解成以下几个小问题： (1)① 求等差数列 {a n } 的通项公式； ②求 [lg1] ， [lg11] ， [lg101] 的值 . (2)① 求 0≤lga n <1 ， 1≤lga n <2 ， 2≤lga n <3 ， lga n =3 时， n 的值 . ② 求数列 { b n } 的前 1000 项和 . 【 规范解答 】 (1) 设 {a n } 的公差为 d ， S 7 = =7a 4 =28 ， 所以 a 4 =4 ，所以 d= =1 ，所以 a n =1+(n-1)×1=n. 所以 b 1 =[lga 1 ]=[lg1]=0 ， b 11 =[lga 11 ]=[lg11]=1 ， b 101 =[lga 101 ]=[lg101]=2. (2) 记 { b n } 的前 n 项和为 T n ，则 T 1000 =b 1 +b 2 +…+b 1000 =[lga 1 ]+[lga 2 ]+…+[lga 1000 ]. 当 0≤lga n <1 时， n=1 ， 2 ， … ， 9 ； 当 1≤lga n <2 时， n=10 ， 11 ， … ， 99 ； 当 2≤lga n <3 时， n=100 ， 101 ， … ， 999 ； 当 lga n =3 时， n=1000. 所以 T 1000 =0×9+1×90+2×900+3×1=1893.