2018届二轮复习 立体几何 课件（全国通用） 39页

立体几何 高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念， 空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积 计算等，A级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直 的证明，B级要求. 真 题 感 悟 1.(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆 锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制 作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥 和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 证明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又DE⊄ 平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F， 所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1， A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F， A1C1∩A1F＝A1.所以B1D⊥平面A1C1F， 因为直线B1D⊂平面B1DE， 所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 考 点 整 合 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直 平行六面体、长方体之间的关系. 2.空间几何体的两组常用公式 3.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄ α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 4.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P， l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α， a⊥l⇒a⊥β. 探究提高　(1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要 在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线 (面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题. (2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则 是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. (3)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用 转换法、分割法、补形法等方法求解. (3)(2016·苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为 1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的 底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________. 热点二　空间中的平行和垂直的判断与证明问题 [微题型1]　空间线面位置关系的判断 【例2－1】 (1)已知平面α、β，直线m，n，给出下列命题： ①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β； ②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n. 其中是真命题的是________(填写所有真命题的序号). (2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线， 有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的 角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) 解析　(1)若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β可能平行或相交， ①是假命题；若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能是平行、 相交、异面中的任何一种位置关系，②是假命题；由线面 垂直的性质和面面垂直的判定可知③④是真命题，故真命 题序号是③④. (2)当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定， 故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案　(1)③④　(2)②③④ 探究提高　长方体(或正方体)是一类特殊的几何体， 其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平 行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、 线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各 条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不 真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真 伪，可使此类问题迅速获解. 证明　(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1 的中点，因此DE∥AC. 又因为DE⊄ 平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平 面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1， BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1. 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. (1)证明　因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直底面， 所以A1A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥AA1， 因为BC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB⊂平面AA1B1B， AA1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B. 又AB1⊂平面AA1B1B，所以AB1⊥BC， 因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B为正方形， 所以AB1⊥A1B， 因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 探究提高　垂直、平行关系证明中应用转化与化归思 想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化 为证明线线垂直. 图1 图2 1.求解几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算. (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些 三棱锥，有时可采用等体积转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面 是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面 是等腰梯形的应用. (4)求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底. 4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线 同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换： 三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、 面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高 线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直， 只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.