2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2 24页

2.1.1 　倾斜角与斜率 激趣诱思 知识点拨 交通工程上一般用 “ 坡度 ” 来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度 , 如图 , 一辆汽车沿某条道路从 A 点前进到 B 点 , 在水平方向前进的距离为 AD , 竖直方向上升的高度为 DB ( 如果是下降 , 则 DB 的值 了实际应用与安全 , 在道路铺设时常要规划坡度的大小 . 那么 “ 坡度 ” 是如何来刻画道路的倾斜程度的呢 ? 激趣诱思 知识点拨 　 一、直线的 倾斜角 激趣诱思 知识点拨 名师点析 倾斜角还可以这样定义 : 在平面直角坐标系中 , 对于一条与 x 轴相交的直线 , 把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角 . 并规定 : 与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0 ° . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 如图所示 , 直线 l 的倾斜角为 ( 　　 ) A.45 ° 　　　 B.135 ° 　　　 C.0 ° 　　　 D. 不存在 答案 : B 微练习 2 直线 x= 1 的倾斜角 α = . 答案 : 90 ° 激趣诱思 知识点拨 二、直线的斜率 1 . 定义与表示 激趣诱思 知识点拨 2 . 填表 : 斜率与倾斜角的对应 关系 激趣诱思 知识点拨 微思考 1 任何一条直线都有倾斜角吗 ? 任何一条直线都有斜率吗 ? 答案 : 任何一条直线都有倾斜角 . 但倾斜角为 90 ° 的直线没有斜率 . 微思考 2 直线的倾斜角越大 , 斜率就越大吗 ? 微练习 已知直线 l 的斜率 k=- 1, 则其倾斜角 α = 　　　　　 .   答案 : 135 ° 激趣诱思 知识点拨 三 、直线的斜率公式 如果直线经过两点 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ),( x 1 ≠ x 2 ), 则直线的斜率公式为 名师点析 1 . 运用公式的前提是 x 1 ≠ x 2 , 即直线不与 x 轴垂直 . 2 . 斜率公式与 P 1 , P 2 在直线上的位置无关 , 在直线上任取两点 , 得到的斜率是相同的 . 3 . 需注意公式中横、纵坐标之差的顺序 , 也可以写成 即下标的顺序一致 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知点 P 1 (3,5), P 2 ( - 1, - 3), 则直线 P 1 P 2 的斜率 k 等于 ( 　　 ) A.2 B.1 D . 不存在 答案 : A 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 直线的倾斜角 例 1 已知直线 l 过原点 , l 绕原点按顺时针方向转动角 α (0 ° < α < 180 ° ) 后 , 恰好与 y 轴重合 , 求直线 l 转动前的倾斜角是多少 ? 思路分析 : 画草图 → 标记 α → 找倾斜角与 α 的关系 → 求倾斜角 解 : 由题意画出如下草图 . 由图可知 : 当 α 为钝角时 , 倾斜角为 α - 90 ° , 当 α 为锐角时 , 倾斜角为 α + 90 ° , 当 α 为直角时 , 倾斜角为 0 ° . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 直线的倾斜角的求法 求直线的倾斜角主要根据定义 , 其关键是根据题意画出图形 , 找准倾斜角 , 有时要根据情况分类讨论 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 设直线 l 过坐标原点 , 它的倾斜角为 α , 如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45 ° , 得到直线 l 1 , 那么 l 1 的倾斜角为 ( 　　 ) A. α + 45 ° B. α - 135 ° C.135 ° - α D. 当 0 °≤ α < 135 ° 时 , 倾斜角为 α + 45 ° ; 当 135 °≤ α < 180 ° 时 , 倾斜角为 α - 135 ° 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解析 : 根据题意 , 画出图形 , 如图所示 : 因为 0 °≤ α < 180 ° , 显然 A,B,C 未分类讨论 , 均不全面 , 不合题意 . 通过画图 ( 如图所示 ) 可知 : 当 0 °≤ α < 135 ° 时 , l 1 的倾斜角为 α + 45 ° ; 当 135 °≤ α < 180 ° 时 , l 1 的倾斜角为 45 ° + α - 180 ° = α - 135 ° . 故选 D . 答案 : D 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 斜率公式及其应用 例 2 已知直线 l 过点 M ( m+ 1, m- 1), N (2 m ,1) . (1) 当 m 为何值时 , 直线 l 的斜率是 1? (2) 当 m 为何值时 , 直线 l 的倾斜角为 90 ° ? 思路分析 : 求直线的斜率 ⇒ 直线的斜率公式 . (2) l 的倾斜角为 90 ° , 即 l 平行于 y 轴 , 所以 m+ 1 = 2 m , 得 m= 1 . 反思感悟 直线斜率的计算方法 (1) 判断两点的横坐标是否相等 , 若相等 , 则直线的斜率不存在 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 本例条件不变 , 试求直线 l 的倾斜角为锐角时实数 m 的取值范围 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 若将本例中的 “ N (2 m ,1)” 改为 “ N (3 m ,2 m )”, 其他条件不变 , 结果如何 ? 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 一题多解 —— 利用斜率解决反射问题 典例 光线从点 A (2,1) 射到 y 轴上的点 Q , 经 y 轴反射后过点 B (4,3), 试求点 Q 的坐标及入射光线的斜率 . ( 方法 2) 设 Q (0, y ), 如图 , 点 B (4,3) 关于 y 轴的对称点为 B' ( - 4,3 ), 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 方法总结 光的反射问题中 , 反射角等于入射角 , 但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率 . 当镜面水平放置时 , 它们之间是互为相反数的关系 . 另外 , 在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 一束光线从点 A ( - 2,3) 射入 , 经 x 轴上点 P 反射后 , 通过点 B (5,7), 求点 P 的坐标 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 若直线 l 经过第二、第四象限 , 则直线 l 的倾斜角范围是 ( 　　 ) A.0 °≤ α < 90 ° B.90 °≤ α < 180 ° C.90 ° < α < 180 ° D.0 ° < α < 180 ° 答案 : C 答案 : A 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 过点 P ( - 2, m ), Q ( m ,4) 的直线的斜率为 1, 那么 m 的值为 ( 　　 ) A.1 或 4 B.4 C.1 或 3 D.1 答案 : D 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : 60 °