2019届二轮复习（理）导数研究函数的性质学案（全国通用） 18页

‎【母题 一】【2018高考新课标1理数16】‎ ‎【母题原题】已知函数，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.‎ ‎【母题 二】【2016高考新课标1理数7】‎ ‎【母题原题】函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【命题意图】‎ ‎1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).‎ ‎2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． ‎ ‎【命题规律】‎ ‎1、求函数的极值 ‎（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。‎ ‎（2）求函数的极值的一般步骤 先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。‎ 一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。‎ ‎（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。‎ ‎（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。‎ ‎（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。‎ ‎（6）求函数的极值一定要列表。]‎ ‎2、用导数求函数的最值 ‎（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：‎ ‎①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；‎ ‎②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.‎ ‎（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求函数f(x)极值的步骤 ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数f′(x)；‎ ‎③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．‎ ‎2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．‎ ‎3.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 ‎(1)求函数在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；‎ ‎(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．‎ 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．‎ ‎4.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 ‎①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．‎ ‎②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎5.利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．‎ ‎1．【河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研考试】已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 (　　)．‎ A． [2－，2＋] B． (2－，2＋)‎ C． [1,3] D． (1,3) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题可知f（x）＝ex－1>－1，g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1，若有f（a）＝g（b），则g（b）∈（－1,1]．即－b2＋4b－3>－1，解得2－0，‎ 则当时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.‎ 所以,则当x>0时恒成立.‎ ‎∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线，故④正确.‎ 故答案为：①②④. ‎ ‎【点睛】‎ ‎“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ ‎14．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】已知函数有两个极值，则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为函数有两个交点的问题，考查临界条件，利用导函数研究函数的切线方程即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数 的最小值是，则 ．‎ ‎【答案】5 | |X|X|K]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得直线与相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得的方程，再由函数 的单调性，可得的最小值，化简变形即可得到 的关系式，可得所求值． ‎ ‎【详解】 学 ]‎ 可得或， 由，可得， 即 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图象和性质，以及导数的概念和应用，考查函数的最值的求法，以及运算能力，属于中档题．‎