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- 2021-05-24 发布
第13章 全等三角形
13.2 三角形全等的判定
3 边角边
上节课我们给大家留了这样一个思考题,你们思考好
了吗?
如果两个三角形有三组对应相等的元素(边或角),那
么会有哪几种可能的情况?这时,这两个三角形一定会全等
吗?
有四种情况:两边一角、两角一边、三角、三边.
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两
个三角形会全等吗?——这是本节我们要探讨的课题.
如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种
可能的情况呢?每一种情况得到的三角形都全等吗?
应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边
夹一角;另一情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角.
“S.A.S.”判定三角形全等
【问题情境】
如果已知两个三角形有两边及一角对应相等时,应
分为几种情形讨论?
边-角-边 边-边-角
A A
A'A'
B
B'
B
B'
C C
C' C'
第一种 第二种
如图,已知两条线段和一个角,试画一个三角形,
使这两条线段为其两边,这个角为这两边的夹角.
步骤:1.画一线段AB,使它等于4cm;
2.画∠MAB= 45°;
3.在射线AM上截取AC=3cm;
4.连结BC.
△ ABC就是所求作的三角形
【做一做】
比一比:大家所画的
三角形都全等吗?
试一试,换两条线段和
一个角,是否有同样的
结论.
下面用叠合的方法,看看你和你同伴所画的两个三
角形是否可以完全重合.
A
B C
D
E F
全等
在△ABC 和△ A′B′C′中,
▼文字语言:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
(简写成“边角边”或“S.A.S. ”).
“边角边”判定方法
▼几何语言:
AB = A′B′,
∠A =∠A′,
AC =A′C′ ,
A B
C
A ′ B ′
C ′ 必须是两边
“ 夹 角 ”
C
A
B
D
E
【例1】 如图,已知线段AC、BD相交于点E,AE=DE,
BE=CE, 求证:△ABE≌△DCE.
∵AE=DE(已知),
∠AEB=∠DEC(对顶角相等),
BE=CE(已知),
∴ △ABE≌△DCE(S.A.S.).
证明:在△ABE和△DCE中,
【例2】 如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可
先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延
长到点D,使CD=CA,连结BC并延长到点E,使CE=
CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么?
C·
A
E D
B分析:如果能证明△ABC≌
△DEC, 就可以得出AB=DE.由
题意知, △ABC和△DEC具备
“边角边”的条件.
证明:在△ABC 和△DEC 中,
∴△ABC ≌△DEC(S.A.S.).
∴AB =DE
(全等三角形的对应边相等).
AC = DC(已知),
∠1 =∠2 (对顶角相等),
CB=EC(已知) , C·
A
E D
B
1
2
【归纳】证明线段相等或者角相等时,常常通过证
明三角形全等来解决.
如图,已知两条线段和一个角,以长的线段为
已知角的邻边,短的线段为已知角的对边,画
一个三角形.
A B
C
D E
F
2
.5
c
m
3
cm
45° 45°
3
cm
2
.
5
c
m
【结论】两边及其一边所对的角相等(即“边边角”对应相
等或S.S.A.),两个三角形不一定全等.
【做一做】
2.5cm
3cm
45°
把你画的三角形与其
他同学画的三角形进
行对比,所画的三角
形都全等吗?此时,
符合条件的三角形有
多少种?
【比一比】
1.如图,AC=BD,∠CAB= ∠DBA,求证:BC=AD.
A B
C D证明:在△ABC与△BAD中,
AC=BD
∠CAB=∠DBA
AB=BA
∴△ABC≌△BAD(S.A.S.).
(已知),
(已知),
(公共边),
∴BC=AD(全等三角形的对应边相等).
2.小兰做了一个如图所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,
ED=FD ,将上述条件标注在图中,小明不用测量就能
知道EH=FH吗?与同桌进行交流.
E F
D
H
解:能.在△EDH和△FDH中 ,
ED=FD(已知),
∠EDH=∠FDH(已知),
DH=DH(公共边),
∴△EDH≌△FDH(S.A.S.).
∴EH=FH(全等三角形对应边相等).
3.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1=∠2,
求证:∠A=∠D.
证明:∵ ∠1=∠2(已知),
∴∠1+∠DBC= ∠2+ ∠DBC(等式的性
质), 即∠ABC=∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB=DB(已知),
∠ABC=∠DBE(已证),
CB=EB(已知),
∴△ABC≌△DBE(S.A.S.).
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
1
A
2 CB
D
E
4.如图,点E、F在AC上,AD//BC,AD=CB,AE=CF.
求证:△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明: ∵AD//BC,
∴ ∠A=∠C.
∵AE=CF,
在△AFD和△CEB中,
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB(S.A.S.).
∴AE+EF=CF+EF,
即 AF=CE.
(已知),
(已证),
(已证),
两边及其夹角
分别相等的两
个三角形
三角形全等的“S.A.S.”判定:
两边及其夹角分别相等的两个三
角形全等
“S.S.A.”不能判定两个三角形全等
注意:1.已知两边,必须找“夹角”;
2.已知一角和这角的一夹边,必
须找这角的另一夹边
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