2019届二轮复习第32练　矩阵与变换、坐标系与参数方程课件（51张）（全国通用） 51页

第三篇 　 附加题专项练 ， 力保选做拿满分 第 32 练　矩阵与变换 、 坐标系与参数方程 明晰 考 情 1. 命题角度 ：常见 的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法；极坐标和参数方程的简单综合运用 . 2 . 题目难度：中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 高考押题冲刺练 考点一　 线性变换、二阶矩阵及其求法 核心考点突破练 1. 已知变换矩阵 A ：平面上的点 P (2 ，－ 1) ， Q ( － 1,2) 分别变换成点 P 1 (3 ，－ 4) ， Q 1 (0,5) ，求变换矩阵 A . 解答 解答 解答 设 P ( x 0 ， y 0 ) 是曲线 C 1 上的任一点，它在矩阵 BA 变换作用下变成点 P ′ ( x ′ ， y ′ ) 所以 m 2 ＝ 1 ，所以 m ＝ ±1. 解答 (1) 求 AB ； 解答 解　 设 Q ( x 0 ， y 0 ) 为曲线 C 1 上任意一点，它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为点 P ( x ， y ) ， 因此曲线 C 1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线 C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＝ 8 . 考点二　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 方法技巧 　 1. 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序 .2. 求矩阵 M ＝ 就是 要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法 . 解答 (1) 求 A 的逆矩阵 A － 1 ； 解答 (2) 若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P ′ (3,1) ，求点 P 的坐标 . 因此，点 P 的坐标为 (3 ，－ 1). 解答 令 f ( λ ) ＝ 0 ，得 λ 2 － 5 λ － 24 ＝ 0 ， 所以 λ 1 ＝ 8 ， λ 2 ＝－ 3 为矩阵 A 的两个特征值 . 7.(2018· 无锡调研 ) 已知二阶矩阵 A 对应的变换将点 M (1,1) 变换成 M ′ (3,3) ，将点 N ( － 1,2) 变换成 N ′ (3,0). (1) 求矩阵 A 的逆矩阵 A － 1 ； 解得 a ＝ 1 ， b ＝ 2 ， c ＝ 2 ， d ＝ 1 ， 解答 令 f ( λ ) ＝ 0 ，解得 λ 1 ＝ 3 ， λ 2 ＝－ 1 ， 令 β ＝ m α 1 ＋ n α 2 ，求得 m ＝ 3 ， n ＝－ 2 ， 所以 A 3 β ＝ A 3 (3 α 1 － 2 α 2 ) ＝ 3( A 3 α 1 ) － 2( A 3 α 2 ) 解答 (1) 求实数 b ， λ 的值； 解　 由 题意得 Aα ＝ λ α ， 解得 b ＝ 0 ， λ ＝ 2. 解答 解答 (2) 若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C ′ ： x 2 ＋ 2 y 2 ＝ 2 ，求曲线 C 的方程 . 设曲线 C 上的一点 P ( x ， y ) ，在矩阵 A 的作用下得到点 P ′ ( x ′ ， y ′ ). 将上式代入方程 x ′ 2 ＋ 2 y ′ 2 ＝ 2 ，得 (2 x ) 2 ＋ 2( x ＋ 3 y ) 2 ＝ 2 ， 整理得 3 x 2 ＋ 9 y 2 ＋ 6 xy － 1 ＝ 0. 所以曲线 C 的方程为 3 x 2 ＋ 9 y 2 ＋ 6 xy － 1 ＝ 0. 考点三　曲线的极坐标方程 方法技巧 　曲线极坐标方程的应用一般有两种思路：一是将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；二是将曲线的极坐标方程联立，根据极坐标的意义求解 . 要注意题目所给的限制条件及隐含条件 . 解答 将曲线 ρ 2 － 10 ρ cos θ ＋ 4 ＝ 0 化为直角坐标方程，得 x 2 ＋ y 2 － 10 x ＋ 4 ＝ 0 ， 方法二 　联立直线 l 与曲线 C 的极坐标方程， 消去 θ ，得 ρ 2 － 5 ρ ＋ 4 ＝ 0 ，解得 ρ 1 ＝ 1 ， ρ 2 ＝ 4 ， 解答 (1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. 解答 (2) 求直线 l 被曲线 C 截得线段的长 . 解　 曲线 C 表示以 (0 ， 1) 为圆心， 2 为半径的圆， 圆心到直线 l 的距离 d ＝ 1 ， 解答 解　 因为 ρ 2 ＝ x 2 ＋ y 2 ， ρ cos θ ＝ x ， ρ sin θ ＝ y ， 解答 解　 设点 P ( ρ ′ ， θ ′ ) ， M ( ρ 1 ， θ ′ ) ，依 题意得 ρ 1 sin θ ′ ＝ 2 ， ρ ′ ρ 1 ＝ 4 ， 消去 ρ 1 ，得 ρ ′ ＝ 2sin θ ′ ，故曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ ( ρ ≠ 0). 化为直角坐标方程，得 C 2 ： x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 ， 是 以点 (0,1) 为圆心， 1 为半径的圆 . 又直线 C 3 的普通方程为 x － y ＝ 2 ， 解答 考点四 　参数方程 解答 (1) 分别写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； 解　 直线 l 的普通方程是 2 x ＋ y － a － 2 ＝ 0 ， 圆 C 的直角坐标方程是 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4. 解答 (2) 若直线 l 与圆 C 相切，求实数 a 的值 . 解　 由 (1) 知圆心为 C (2,0) ，半径 r ＝ 2 ， 设圆心到直线的距离为 d ，因为直线与圆相切， 解答 解　 圆 C 的普通方程为 ( x － m ) 2 ＋ y 2 ＝ 4. 解答 (1) 若直线 l 与圆 C 相切，求 φ 的值； 解　 圆 C 的直角坐标方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， 将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程得 ( t cos φ － 4) 2 ＋ ( t sin φ ) 2 ＝ 4 ， 即 t 2 － 8 t cos φ ＋ 12 ＝ 0 ， 因为直线 l 与圆 C 相切， 所以 Δ ＝ (8cos φ ) 2 － 4 × 12 ＝ 0 ， (2) 已知直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，记点 A ， B 相应的参数分别为 t 1 ， t 2 ，当 t 1 ＝ 2 t 2 时，求 AB 的长 . 得 t 2 － 8 t cos φ ＋ 12 ＝ 0 ， 解答 解答 (1) 求圆 M 的普通方程及圆 N 的直角坐标方程； 解答 (2) 求圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点之间距离的最小值 . 所以圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点之间距离的最小值为 d min ＝ MN － 3 ＝ 4 － 3 ＝ 1. 高考押题冲刺练 解答 (1) 求实数 a 的值； 得 2 － 2 a ＝－ 4 ⇒ a ＝ 3. 解答 (2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量 . 令 f ( λ ) ＝ 0 ，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4. 解答 (1) 若矩阵 A 存在逆矩阵，求实数 a 的取值范围； ∴ a ≠ ±1. 解答 (2) 若直线 l ： x － y ＋ 4 ＝ 0 在矩阵 A 对应的变换作用下变为直线 l ′ ： x － y ＋ 2 a ＝ 0 ，求实数 a 的值； 解　 设 l 上任一点 ( x ， y ) 在 A 的变换作用下变为点 ( x ′ ， y ′ ) ， 所以 x ′ － y ′ ＋ 2 a ＝ ax ＋ y － x － ay ＋ 2 a ＝ ( a － 1) x ＋ (1 － a ) y ＋ 2 a ＝ 0 ， 所以 a ＝ 2. 解答 (3) 在 (2) 的条件下，求 A 5 . 解答 解　 直线的普通方程为 2 x － 2 y ＋ 3 ＝ 0 ，曲线的普通方程为 y 2 ＝ 8 x . 解答 (1) 写出圆 C 的极坐标方程及圆心 C 的极坐标； 解答 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com