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- 2021-05-24 发布
专题10：直线与圆、圆与圆（两课时）
班级 姓名
一、课前测试
1．(1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 ．
(2) 已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y＝2x＋1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是 ______.
答案：(1) (x±) 2＋y2＝;(2) 2＋2＝
2．(1)过点P(1，0)作圆C： (x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A、B，则切线方程为 ；
切线长PA为 ；直线AB的方程为 ．
(2)经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程为 ．
(3)圆C1:x2＋y2＝16与C2:(x－4)2+(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r＝ ．
答案：(1) x＝1或5x＋12y－5＝0；2；3x＋2y－7＝0． (2)(x－3)2＋(y－1)2＝5．(3)3
3．(1)已知过定点P(1，2)的直线l交圆O：x2＋y2＝9于A，B两点，若AB＝4，则直线l的方程为 ；
当P为线段AB的中点时，则直线l的方程为 ．
(2) 已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(－1，4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ．
(3)圆C：x2＋(y－2)2＝R2(R＞0)上恰好存在2个点，它到直线y＝x－2上的距离为1，则R的取值范围为 ．
答案：(1)x＝1或3x－4y＋5＝0；x＋2y－5＝0．(2)30; (3)1＜R＜3．
4．(1)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若两圆相交，实数m的取值范围为 ．
(2)已知圆O1：x2＋y2－4x－2y－4＝0，圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，则两圆的公共弦长度为 ．
答案：(1)－5＜m＜－2或－1＜m＜2;(2)4．
5．(1)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(4,0)．若直线x－y＋m＝0上存在点P使得PA＝PB,则实数m的取值范围是________．
（2）满足条件AB＝2, AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是 ．
答案：(1) [－2,2]；（2) 2
二、方法联想
1． 圆的方程
方法1：三点代入圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解D、E、F．
方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心．
方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边．
优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径．
变式：(1)平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C，则C的方程是________．
答案： x2＋y2＋2x－( b＋1) y＋b＝0 (设而不求法求外接圆方程)
(2)已知圆O：x2＋y2＝4，点M(4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O交于A，B 两点，则△ABM的外接圆的面积的最小值为________．
答案：π(求外接圆半径的最值)
2．相切问题
(1)位置判断：方法1：利用d＝r；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．
(2)如图，在Rt△PAC 中，切线长PA＝；
当圆外一点引两条切线时，
(1)P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为直径；
(2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．
(3)PC为∠APB的平分线，且垂直平分线段AB．
变式：(1)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
答案：(x－1)2＋y2＝2．(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值)
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围是________．
答案：[,2)(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)
(3) 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．
答案：[1，5] (∠BAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题)
3．相交弦问题
直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法
(1) 圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式．
如：()2＋d2＝R2，d＝Rcos，＝Rsin．
(2)相交弦的垂直平分线过圆心．
(3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直．
变式：
(1)直线l1：y＝kx＋3与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的的取值范围是________．
答案： [－,] (已知弦长范围，求参数取值范围)
(2)过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A,B两点,若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________．
答案：x±3y＋4＝0 (已知弦的性质，求直线方程)
(3)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线交x轴于C，D两点，若AB＝2，则CD＝ ．
答案：4(已知弦长，求直线方程及有关量的取值)
(4)在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A，B，满足PA＝2AB，则半径r的取值范围是________．
答案：[5，55] (弦长的最值问题)
4．两圆位置关系问题
位置关系
d与r1，r2的关系
公切线条数
外离
d＞r1＋r2
4
外切
d＝r1＋r2
3
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
2
内切
d＝|r1－r2|
1
内含
0＜d＜|r1－r2|
0
两圆相交问题
(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程．
(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦．
两圆相切问题
两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点．
变式：(1)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．
答案：[－,＋∞) (已知两圆位置关系，求参数取值范围)
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________．
答案： (－,4) (已知两圆切线长的关系，求参数取值范围)
5．阿波罗尼斯圆
定义：已知平面上两点A、B，则所有满足＝k(k＞0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆．
(1)等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD＝2，则△ABC面积的最大值为________．
答案： (利用等腰三角形的性质得到AB＝2AD，则点A是圆上动点，即求圆上动点到直线距离的最值)
(2)点P是圆C：x2＋y2＝1上动点，已知A(－1,2)，B(2,0)，则PA＋PB的最小值为________．
答案：(已知动点轨迹为圆，将PB转化为P到一个定点的距离，即求动点到两个定点距离之和）
(3) 已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距),直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B．点P在圆N上,且＝2，则点P的坐标为 ．
C
B
A
答案：(－1,1)或(－,)(已知动点到到两个定点距离之比为定值，求定点坐标)
6．圆上点到直线距离问题
(1)当直线与圆相离时，
C
B
A
圆上点到直线距离，在点A处取到最大值d＋R，在点B取到最小值d－R．
(2)当直线与圆相交时，如图：
优弧上点到直线距离，在点A取到最大值d＋R，
劣弧上点到直线距离，在点B取到最大值R－d．
三、例题分析
例1 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，设点B，C是直线l：x－2y＝0上的两点，它们的横坐标分别是t，t＋4，点P在线段BC上，过P作圆M的切线PA，切点为A．
(1)若t＝0，MP＝，求直线PA的方程；
(2)经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）．
答案：（1）直线PA的方程是y＝1或4x＋3y－11＝0；
（2）L(t)＝．
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．直线与圆相切问题：①d＝r；②因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．
2．三点外接圆问题：①三点代入圆的一般方程，求解D、E、F；
②三角形两边的垂直平分线交点过圆心；③直角三角形外接圆的直径为直角三角形斜边．
3．二次函数最值问题：分类讨论对称轴与区间四种位置关系，并进行取舍和合并．
(2)方法选择与优化建议：
对于问题1，因为不知道切点坐标，所以选择方法①．
对于问题2，学生一般选择方法①或②，因为三角形为直角三角形，所以选择方法③更合理．
例2 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0．
(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．
答案：(1) y＝－2x±3；
(2) 存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数．
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
1．求直线方程问题：①待定系数法；②根据条件，找到直线上两点或一点及直线的斜率(或倾斜角)．
2．直线与圆相切问题：①d＝r，②已知切点坐标时，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．
3．定值问题：①根据特例，求出该定值，再进行证明；
②设变量转化为方程(或不等式) 恒成立问题，再根据恒成立的条件求出该定值．
(2)方法选择与优化建议：
对于问题1，用方法①，本题求解中需用到所求直线的方程．
对于问题2，用方法①，本题中切点的坐标没有确定．
对于问题3，用方法①，方法②均可．
例3 已知过原点的动直线与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
（1）求圆C的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线l:y＝k (x－4)与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.
答案：（1）（3,0）；（2）2＋y＝( ＜x≤3);；（3）{－,}∪[－,]．
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
1．确定圆：
①利用圆的定义和几何性质确定圆心和半径；
②设圆的方程，利用待定系数法确定圆的方程．
2．求动点轨迹方程：
①定义法②直接法③代入法④相关点法⑤参数法
3. 直线与圆的位置关系
4. 求参数取值范围
①函数法②基本不等式③数形结合
(2)方法选择与优化建议：
对于问题1,由于圆的方程已知，直接化标准方程得圆心；
对于问题2,与圆有关的问题，充分利用圆的几何性质，根据垂径定理得CM⊥OM，所以选择法①，根据定义可知点M在以OC为直径的圆上，且点在圆C内，注意限制条件；
对于问题3, 4,直线与圆的位置关系可通过代数法和几何法判定，但点M的轨迹是圆的一部分。不能直接用以上两个方法，与问题4联系，考虑数形结合的方法，实数k的几何意义是斜率。
四、反馈练习
1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为________．
答案： (考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系)
2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，
则PA·PB的最大值是________．
答案：5 (考查直线过定点问题，基本不等式求最值)
3．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．
答案： (考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离)
4．过点P(1，3)向圆x2＋y2＝2的作两条切线PA，PB，A，B为切点，则∠APB的正切值等于________．
答案： (考查直线与圆相切的性质，切线长的计算，二倍角的正切公式)
5．已知直线x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数k＝
________．
答案：3 (考查两直线位置关系，圆的几何性质)
6．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和圆(x－6)2＋y2＝8上的点，则P，Q两点间的最大距离是 ．
答案：9 (考查圆的几何性质，解析几何中的最值问题)
7．过圆x2＋y2＝4内一点P(1,1)作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC＝BD时，四边形ABCD的面积为________．
答案：6 (考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离)
8．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·≤0，则线段EF长度的最大值是________．
答案： (考查直线与圆的位置关系，解三角形，向量的数量积，两点间距离)
9．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P(异于原点O)为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为________．
答案： (考查两圆的位置关系，定值问题处理方法)
10．设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)＋y≤m，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠Æ，则实数m的取值范围是___________．
答案：[，2＋] (考查集合的含义，直线与圆的位置关系，不等式表示的平面区域及综合分析问题的能力)
x
y
A
l
O
B
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
答案：(1)y＝3或3x＋4y－12＝0；
(2)a的取值范围为[0，]．
(考查直线与圆相切问题，求轨迹方程问题，两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题)
12． 已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
(1)求圆A的方程；
(2)当MN＝2时，求直线l的方程；
(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
答案：(1) (x＋1)2＋(y－2)2＝20；
(2) x＝－2或3x－4y＋6＝0；
(3) ·为定值－5．
(考查求圆的方程，割线方程，弦长问题及定值问题)
13.在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
答案：(1) y2＝20x；(2) 定值为6400．
(考查求轨迹问题，直线与圆相切，定值问题)
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3) 设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
答案：(1) (x－6)2＋(y－1)2＝25；(2)2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0；(3)[2－2,2＋2]．
(考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，线被圆截得弦长，向量的运算)