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- 2021-05-24 发布
第章 三角函数、解三角形
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
(对应学生用书第47页)
[基础知识填充]
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y
)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
[知识拓展] (1)任意角的三角函数的定义(推广)．
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(y≠0)．
(2)单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)．
(3)若α∈，则sin α＜α＜tan α.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )
(3)三角形的内角必是第一、第二象限角．( )
(4)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．( )
(5)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
2．若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D．]
3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M，则sin α＝( )
A． B．±
C． D．±
B [由题意知|r|＝＋y＝1，
所以y＝±.
由三角函数定义知sin α＝y＝±.]
4．已知圆的一条弦的长等于半径长，则这条弦所对的圆心角的大小为________弧度．
[∵弧长等于半径长．
∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形．
故该弦所对的圆心角的大小为.]
5．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
四 一 [∵3 900°＝10×360°＋300°，∴3 900°是第四象限角．
∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角．]
(对应学生用书第48页)
角的有关概念及其集合表示
(1)若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
(2)终边在直线y＝x上的角的集合是________．
(1)C (2){β|β＝60°＋k·180°，k∈Z} [(1)∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．
(2)如图，直线y＝x过原点，倾斜角为60°，
在0°～360°范围内，
终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．]
[规律方法] 1.终边在某直线上角的求法四步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线．
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角．
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合．
(4)求并集化简集合．
2．确定kα，(k∈N*)终边位置的步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围．
(2)再写出kα或的范围．
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．
3．注意角度与弧度不能混用．
4．终边落在x轴上角的集合.
终边落在y轴上角的集合.
终边落在坐标轴上的角的集合
[跟踪训练] (1)设集合M＝，
N＝，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.
【导学号：97190099】
(1)B (2)－675°或－315° [(1)法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B．
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B．
(2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，
所以取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]
扇形的弧长、面积公式
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
[解] (1)设圆心角是θ，半径是r，则
解得(舍去)或
∴扇形的圆心角为.
(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
[规律方法] 解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项
(1)解决有关扇形的弧长和面积问题时，要注意角的单位，一般将角度化为弧度.
(2)求解扇形面积的最值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
[跟踪训练] (1)扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________ cm.
(2)如图311，已知扇形的圆心角α＝120°，弦AB长12 cm，则该扇形的弧长l＝________ cm.
图311
(1) (2)π [(1)由弧长公式l＝|α|r，得
r＝＝，∴S扇形＝lr＝×20×＝.
(2)设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4，
∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.]
三角函数的定义
◎角度1 三角函数定义的应用
(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m＞0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________.
[∵|OP|＝＝5|m|＝5m(m＞0)，
∴sin α＝＝，cos α＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝2×－＝.]
◎角度2 三角函数值符号的判定
若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C [由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而可判断角α为第二或第三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，从而可判断角α为第三或第四象限角．
综上可知，角α为第三象限角．]
◎角度3 三角函数线的应用
函数y＝的定义域为________．
(k∈Z)
[∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴x∈(k∈Z)．]
[规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况.
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.
2.确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.
[跟踪训练] (1)(2018·陕西质检(一))已知角α的终边过点P(4，－3)，则cos的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
【导学号：97190100】
A．－ B．
C．－ D．
(1)B (2)B [(1)∵角α的终边过点P(4，－3)，∴r＝5，由三角函数的定义得sin α＝－，cos α＝，
∴cos＝cos α cos－sin α sin ＝×－×＝，故选B．
(2)∵r＝，
∴cos α＝＝－，
∴m＞0，∴＝，因此m＝.]