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- 2021-05-24 发布
第3讲 平面向量
1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．
2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．
热点一 平面向量的线性运算
1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．
2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，则( )
A.＝－－ B.＝－
C.＝－ D.＝－－
答案 C
解析 ＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，
∴＝，＝，
∴＝＋＝＋，
∵＋＝，－＝，
∴＝(－)＋(＋)
＝－.故选C.
(2)(2017届湖南师大附中月考)O为△ABC内一点，且2＋＋＝0，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由＝t，得－＝t(－)，
所以＝t＋(1－t)，
因为B，O，D三点共线，所以＝λ，
则2＋＝λt＋(1－t)λ，
故有t＝，故选A.
思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．
(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案 B
解析 因为＝＋＝＋k
＝＋k＝(1－k)＋，
且＝m＋，所以
解得k＝2，m＝－1，故选B.
(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
答案 B
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，
所以m＋4＝0，m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.
热点二 平面向量的数量积
1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.
2．三个结论
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)若非零向量a＝(x1，y1)，非零向量b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝＋，则·的值为( )
A．2 B．－
C. D. －2
答案 A
解析 因为＝－，＝－，则·＝，
即·＝2－·＋2＝2－＋＝2，故选A.
(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|a＋2b|等于( )
A．2 B.
C. D．2
答案 B
解析 向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，
可得|a－b|2＝5，即|a|2＋|b|2－2a·b＝5，解得a·b＝0.
|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋16＝17，
所以|a＋2b|＝.故选B.
思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．
跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
答案 B
解析 方法一 (解析法)
建立平面直角坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0,)，B(－1,0)，C(1,0)．
图①
设P点的坐标为(x，y)，
则＝(－x，－y)，
＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.
方法二 (几何法)
如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.
图②
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||·||的最大值．
又||＋||＝||＝2×＝，
∴||||≤2＝2＝，
当且仅当||＝||时取等号，
∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.故选B.
(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，则|a＋2b|＝________.
答案 2
解析 因为|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝，
故a·b＝2cos〈a，b〉＝－1，则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4＋4＝4，即|a＋2b|＝2.
热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．
例3 (2017·江苏)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤，
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
跟踪演练3 已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝(－cos x，－sin x)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c)．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f ＝，求sin α的值．
解 (1)因为a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，
c＝(－cos x，－sin x)，
所以b－c＝(sin x＋cos x，sin x－cos x)，
f(x)＝a·(b－c)＝sin x(sin x＋cos x)＋cos x(sin x－cos x)
＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)为减函数．
所以函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)＝sin，
又f ＝，
则sin＝，sin＝.
因为sin2＋cos2＝1，
所以cos＝±.
又sin α＝sin＝sincos ＋cossin ，
所以当cos＝时，
sin α＝×＋×＝；
当cos＝－时，
sin α＝×－×＝.
综上，sin α＝.
真题体验
1．(2017·北京改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 方法一 由题意知|m|≠0，|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ，使得m＝λn，
则m与n反向共线，θ＝180°，
∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|＜0.
当90°＜θ＜180°时，m·n＜0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．
方法二 ∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ＜0，n≠0时，m·n＜0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉＜0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．
2．(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝＝＝＝，
解得λ＝.
3．(2017·天津)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
答案
解析 由题意知||＝3，||＝2，
·＝3×2×cos 60°＝3，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴·＝·(λ－)＝·－2＋2
＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.
4．(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
答案 6
解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．
·＝||||cos θ，
||＝2，||＝，
cos θ＝＝，
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值为2＋4＝6.
方法二 如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，
所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，
所以＝(2,0)，＝(cos α＋2，sin α)，
·＝2cos α＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．
押题预测
1．如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量，则等于( )
A.(a＋b) B.(a＋b)
C.(a＋b) D.(a＋b)
押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础．
答案 C
解析 因为DE∥BC，所以DN∥BM，
则△AND∽△AMB，所以＝.
因为＝，
所以＝.
因为M为BC的中点，
所以＝(＋)＝(a＋b)，
所以＝＝(a＋b)．
故选C.
2．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式．
答案 B
解析 ∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，
∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2＋0－1＝－.
3．在△ABC中，＝(cos 32°，cos 58°)，＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点．
答案 B
解析 ||＝＝＝1，
＝，
所以||＝＝.
则·＝cos 32°×cos 28°－sin 32°×sin 28°
＝(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°)
＝cos(32°＋28°)＝cos 60°＝，
故cos〈，〉＝＝＝.
又〈，〉∈[0°，180°]，所以〈，〉＝60°，
故B＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
故△ABC的面积为
S＝·||·||sin B
＝×1××sin 120°＝.故选B.
4．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________．
押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中．
答案 －
解析 因为＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，
所以∠OBA＝60°，OB＝1.所以·＝||cos 120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝2－≥－，当且仅当||＝时，·取得最小值－.
A组 专题通关
1. 设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
答案 A
解析 ∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋.
2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)
⇒⇒⇒λ＋x＝－，故选C.
3．已知向量a，b，其中a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，则b在a上的投影为( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 由a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，
得a·(a－3b)＝0＝a2－3a·b＝4－3a·b，a·b＝，
所以b在a上的投影为＝＝，故选C.
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上，若·＝3，则·的值为( )
A．4 B.
C．0 D．－4
答案 D
解析 如图所示，＝2⇒BE＝BC＝，
·＝3⇒AFcos∠BAF＝1⇒DF＝1，
以点A为原点建立平面直角坐标系，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，则B(0,3)，F(，1)，E(，3)，
因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4.
5．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，若B＝2C，则向量在方向上的投影是( )
A．－ B．－
C. D.
答案 B
解析 由正弦定理得
＝⇒＝⇒cos C＝，
由余弦定理得cos C＝⇒BC＝或5，
经检验知BC＝5不符合，舍去，所以BC＝，
cos B＝＝－，
则||cos B＝－，故选B.
6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D在AB边上且满足＝t＋(1－t)，若∠ACD＝60°，则t的值为( )
A. B.－1
C. D.
答案 A
解析 因为D在AB边上且满足＝t＋(1－t)，所以＝t，不妨设AC＝BC＝1，则AB＝，AD＝(1－t)，在△ACD中，∠ACD＝60°，∠CAD＝45°，则∠ADC＝75°，由正弦定理，得＝，
解得t＝.故选A.
7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为点O，且3＋4＋5＝0，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图所示，||＝||＝||＝1，由3＋4＋5＝0，可得3＋4＝－5，两边平方可得9＋24·＋16＝25，所以·＝0，因此⊥.
同理3＋5＝－4，4＋5＝－3，两边分别平方可得cos〈，〉＝－，
cos〈，〉＝－，根据同角三角函数基本关系可得
sin〈，〉＝，sin〈，〉＝，
所以S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△OBC
＝×1×1＋×1×1×＋×1×1×＝，故选C.
8．已知向量＝(1,1)，＝(1，a)，其中O为原点，若向量与的夹角在区间内变化，则实数a的取值范围是__________．
答案
解析 因为＝(1,1)，＝(1，a)，
所以·＝1＋a.
又·＝·cos θ，
故cos θ＝，
因为θ∈，故cos θ∈，
即∈，解得≤a≤.
9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量，，，〈，〉＝60°，若＝m＋n，则m＋n的最大值是______．
答案
解析 由已知条件＝m＋n，两边平方可得1＝m2＋mn＋n2＝(m＋n)2－mn ，∴(m＋n)2－1＝mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n>0，∴(m＋n)2－1＝mn≤(m＋n)2，当且仅当m＝n时取等号，
∴(m＋n)2≤1，则m＋n≤，即m＋n的最大值为.
10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m＝(sin x，－1)，向量n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝2，c＝4，且f(A)恰是f(x)在上的最大值，求A，b和△ABC的面积S.
解 (1)f(x)＝(m＋n)·m
＝sin2x＋1＋sin xcos x＋
＝＋1＋sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋2
＝sin＋2.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知f(A)＝sin＋2，
当x∈时，－≤2x－≤，
由正弦函数图象可知，当2x－＝时f(x)取得最大值3.
所以2A－＝，A＝.
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
得12＝b2＋16－2×4b×，所以b＝2.
所以S＝bcsin A＝×2×4sin 60°＝2.
B组 能力提高
11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P为AB边上的点，＝λ，若·≥·，则λ的最大值是( )
A. B.
C．1 D.
答案 C
解析 因为＝－＝λ－，
＝－＝－λ，
故由·≥·，
可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2，
也即λ2－2λ≤－，解得1－≤λ≤1＋，
由于点P∈AB，所以1－≤λ≤1，
故选C.
12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10, 记mi＝2·i (i＝1,2，…，10)，则m1＋m2＋…＋m10的值为( )
A．15 B．45 C．60 D．180
答案 D
解析 因为AB2与B3C3垂直，设垂足为C，所以在上的投影为AC，mi＝·＝||||＝2×3＝18，从而m1＋m2＋…＋m10的值为18×10＝180.故选D.
13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt△AOB中，AO＝1，BO＝2，如图，动点P是在以O点为圆心，OB为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC＝90°.设＝x＋y，则x＋y的取值范围是__________．
答案 [－2,1]
解析 由已知图形可知，的夹角∠AOP∈[90°，180°]，所以x≤0，
，的夹角∠BOP∈[0°，90°]，所以y≥0，
由平行四边形法则可知，当点P沿着圆弧由C到B移动时，负数x逐渐增大，正数y
逐渐增大，所以当点P在C处时x＋y取得最小值，因为OC＝2OA，OC⊥OB，所以x＝－2，y＝0，所以x＋y＝－2，当点P在点B处时x＋y取得最大值，因为OA⊥OB，所以x＝0，y＝1，
所以x＋y＝1，所以x＋y的取值范围为[－2,1]．
14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a＝(－1,0)，b＝(cos α，sin α)，c＝(cos β，sin β)．
(1)求|a＋c|的最大值；
(2)若α＝，且向量b与向量(a＋c)垂直，求cos β的值．
解 (1)a＋c＝(cos β－1，sin β)，
|a＋c|＝＝，
当cos β＝－1时，|a＋c|＝2，|a＋c|的最大值为2.
(2)若α＝，则b＝，
a＋c＝(cos β－1，sin β)，
∵向量b与向量a＋c垂直，
∴(cos β－1)＋sin β＝0，
∴sin β＋cos β＝1，
故sin2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos2β，
cos2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.
当cos β＝1时，sin β＝0，a＋c＝(0,0)不符合条件，
∴cos β＝0.