2018届二轮复习第63讲　圆锥曲线的综合问题课件（全国通用） 48页

第 3 讲　圆锥曲线的综合问题 专题六　解析几何 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 1.(2016· 四川 ) 设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且 | PM | ＝ 2| MF | ，则直线 OM 的斜率的最大值为 ( 　　 ) 解析 √ 高考真题 体验 1 2 显然，当 y 0 <0 时， k OM <0 ； 当 y 0 >0 时， k OM >0 ，要求 k OM 的最大值，不妨设 y 0 >0. 1 2 2.(2016· 课标全国乙 ) 设圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 15 ＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (1) 证明 | EA | ＋ | EB | 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； 解　 因为 | AD | ＝ | AC | ， EB ∥ AC ， 故 ∠ EBD ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ADC ，所以 | EB | ＝ | ED | ， 故 | EA | ＋ | EB | ＝ | EA | ＋ | ED | ＝ | AD |. 又圆 A 的标准方程为 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 ，从而 | AD | ＝ 4 ，所以 | EA | ＋ | EB | ＝ 4. 由题设得 A ( － 1,0) ， B (1,0) ， | AB | ＝ 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 ： ＋ ＝ 1( y ≠ 0). 1 2 解析答案 (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M ， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 1 2 解析答案 解　 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1)( k ≠ 0) ， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ). 1 2 得 (4 k 2 ＋ 3) x 2 － 8 k 2 x ＋ 4 k 2 － 12 ＝ 0. 解析答案 故四边形 MPNQ 的面积 1 2 解析答案 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x ＝ 1 ， | MN | ＝ 3 ， | PQ | ＝ 8 ，四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 [ 12,8 ). 1 2 1. 圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题 . 2. 试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大 . 考情考向分 析 返回 热点一　范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ，或者利用式子的几何意义求解 . 热点分类突破 (1) 求椭圆 C 的方程； 解析答案 (2) 过点 Q (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，且点 P (4,3) ，记直线 PA ， PB 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，当 k 1 · k 2 取最大值时，求直线 l 的方程 . 思维升华 解析答案 解　 当直线 l 的斜率为 0 时， 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 又 x 1 ＝ my 1 ＋ 1 ， x 2 ＝ my 2 ＋ 1 ， 思维升华 解析答案 令 t ＝ 4 m ＋ 1 ，只考虑 t >0 时， 综上可得，直线 l 的方程为 x － y － 1 ＝ 0. 思维升华 解决范围问题的常用方法： (1) 数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解 . (2) 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域 . 思维 升华 跟踪演练 1 　 如图，已知椭圆 ： ＋ y 2 ＝ 1 ，点 A ， B 是它的两个顶点，过原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交于点 D ，且与椭圆相交于 E ， F 两点 . 解析答案 解　 依题设得椭圆的顶点 A (2,0) ， B (0,1) ， 则直线 AB 的方程为 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0. 设直线 EF 的方程为 y ＝ kx ( k >0). 设 D ( x 0 ， kx 0 ) ， E ( x 1 ， kx 1 ) ， F ( x 2 ， kx 2 ) ，其中 x 1 < x 2 ， 得方程 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＝ 4. 解析答案 由点 D 在线段 AB 上，知 x 0 ＋ 2 kx 0 － 2 ＝ 0 ， (2) 求四边形 AEBF 面积的最大值 . 解析答案 所以四边形 AEBF 的面积为 解析答案 热点二　定点、定值问题 1. 由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，则直线必过定点 ( x 0 ， y 0 ) ；若得到了直线方程的斜截式： y ＝ kx ＋ m ，则直线必过定点 (0 ， m ). 2. 解析几何中的定值问题是指某些几何量 ( 线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等 ) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值 . (1) 求椭圆 C 的方程； 解析答案 思维升华 解析答案 得 (2 ＋ t 2 ) y 2 ＋ 2 tλy ＋ λ 2 － 2 ＝ 0. 因为 l 为切线，所以 Δ ＝ (2 tλ ) 2 － 4( t 2 ＋ 2)( λ 2 － 2) ＝ 0 ，即 t 2 － λ 2 ＋ 2 ＝ 0 . ④ 设圆与 x 轴的交点为 T ( x 0, 0) ， 因为 MN 为圆的直径， 思维升华 解析答案 当 t ＝ 0 时，不符合题意，故 t ≠ 0. 所以 T 为定点，故动圆过 x 轴上的定点 ( － 1,0) 与 (1,0) ，即椭圆的两个焦点 . 思维升华 (1) 动线过定点问题的两大类型及解法 ① 动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ，由题设条件将 t 用 k 表示为 t ＝ mk ，得 y ＝ k ( x ＋ m ) ，故动直线过定点 ( － m, 0). ② 动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 . 思维 升华 思维升华 (2) 求解定值问题的两大 途径 ② 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 跟踪演练 2 　 已知抛物线： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 在双曲线 ： － ＝ 1 的右准线上，抛物线与直线 l ： y ＝ k ( x － 2)( k >0) 交于 A ， B 两点， AF ， BF 的延长线与抛物线交于 C ， D 两点 . (1) 求抛物线的方程； 解析答案 所以 F (1,0) ，则抛物线的方程为： y 2 ＝ 4 x . (2) 若 △ AFB 的面积等于 3 ，求 k 的值； 解析答案 (3) 记直线 CD 的斜率为 k CD ，证明： 为定值，并求出该定值 . 解析答案 热点三　探索性问题 1. 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ，将不确定性问题明朗化 . 其步骤为：假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在；否则，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 2. 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 . 例 3 　 如图，抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 的焦点为 F ，抛物线上一定点 Q (1,2 ). (1) 求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程 ； 解　 把 Q (1,2) 代入 y 2 ＝ 2 px ，得 2 p ＝ 4 ， 所以抛物线方程为 y 2 ＝ 4 x ，准线 l 的方程为 x ＝－ 1. 解析答案 思维升华 (2) 过焦点 F 的直线 ( 不经过 Q 点 ) 与抛物线交于 A ， B 两点，与准线 l 交于点 M ，记 QA ， QB ， QM 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 3 ，问是否存在常数 λ ，使得 k 1 ＋ k 2 ＝ λk 3 成立，若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由 . 解析答案 解　 由条件可设直线 AB 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， k ≠ 0. 由抛物线准线 l ： x ＝－ 1 ，可知 M ( － 1 ，－ 2 k ). 即 k 3 ＝ k ＋ 1 . 把直线 AB 的方程 y ＝ k ( x － 1) ，代入抛物线方程 y 2 ＝ 4 x ，并整理 ， 可 得 k 2 x 2 － 2( k 2 ＋ 2) x ＋ k 2 ＝ 0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，由根与系数的关系， 知 思维升华 解析答案 因为 A ， F ， B 共线，所以 k AF ＝ k BF ＝ k ， 思维升华 即 k 1 ＋ k 2 ＝ 2 k ＋ 2 . 又 k 3 ＝ k ＋ 1 ，可得 k 1 ＋ k 2 ＝ 2 k 3 . 即存在常数 λ ＝ 2 ，使得 k 1 ＋ k 2 ＝ λk 3 成立 . 解决探索性问题的注意事项： 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 . (1) 当条件和结论不唯一时，要分类讨论 . (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 . (3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 . 思维 升华 (1) 求椭圆 E 的方程； 解析答案 解　 由已知，点 C ， D 的坐标分别为 (0 ，－ b ) ， (0 ， b ) ， 返回 解析答案 解　 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ 1 ， A ， B 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 其判别式 Δ ＝ (4 k ) 2 ＋ 8(2 k 2 ＋ 1) ＞ 0 ， ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ λ [ x 1 x 2 ＋ ( y 1 － 1)( y 2 － 1) ] ＝ (1 ＋ λ )(1 ＋ k 2 ) x 1 x 2 ＋ k ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 解析答案 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD ， 返回 押题依据　 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查 . 关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色 . 押题依据 高考押题精练 (1) 求 C 1 ， C 2 的方程； 解析答案 返回 解　 (1) 因为 C 1 ， C 2 的焦点重合， 解析答案 所以 a 2 ＝ 4. 又 a >0 ，所以 a ＝ 2. 抛物线 C 2 的方程为 y 2 ＝ 4 x . 则可设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x 3 ， y 3 ) ， N ( x 4 ， y 4 ). 解析答案 返回