2020二轮复习(理)　恒等变换与解三角形作业 7页

专题限时集训(二)　恒等变换与解三角形 ‎[专题通关练]‎ ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，A＝，则＝(　　)‎ A.　　　 B. C. D. A　[由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7，由正弦定理：＝＝.故选A.]‎ ‎2．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. D　[由sin C＝2sin A及正弦定理得c＝‎2a.‎ 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 所以22＝a2＋‎4a2－‎4a2×＝‎4a2，解得a＝1，所以c＝2.‎ 又sin B＝＝，‎ 所以S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.故选D.]‎ ‎3．(2019·唐山市一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝(　　)‎ A. B. C. D. D　[∵a＝2，b＝3，c＝4，‎ ‎∴cos A＝＝＝＝，‎ 则sin A＝＝＝＝，‎ 则h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝，故选D.]‎ ‎4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)‎ A. B. C. D. B　[由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.]‎ ‎5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. D　[因为cos C＋cos A＝1，得×＋×＝＝1，所以b2＝ac，‎ 所以cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c取等号，且B为三角形内角，所以≤cos B＜1.故选D.]‎ ‎6．[易错题]在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．‎ 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，‎ 即sin ‎2A＝sin 2B，所以‎2A＝2B或‎2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]‎ ‎7．(2019·大庆市高三第二次模拟)已知α，β为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，则α＋β＝________.‎ 　[将(1－tan α)(1－tan β)＝4展开得－(tan α＋tan β)＝3(1－tan α·tan β)，即＝tan(α＋β)＝－，由于α，β为锐角，0＜α＋β＜π，故α＋β＝.]‎ ‎8.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝‎2 km，BC＝‎1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km2.‎ 　[如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝＝(km)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°.‎ 由正弦定理得，＝，即AD＝＝＝(km)，‎ 故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2)．]‎ ‎[能力提升练]‎ ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ C　[因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，‎ 所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C.]‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝2，bsin A＝acos，则b＝(　　)‎ A．1 B. C. D. C　[因为bsin A＝acos ，展开得bsin A＝acos B－asin B，由正弦定理化简得sin Bsin A＝sin Acos B－sin Asin B，整理得sin B＝cos B，‎ 即tan B＝，而三角形中0＜B＜π，所以B＝.‎ 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，代入得b2＝32＋(2)2－2×3×2cos ，解得b＝，所以选C.]‎ ‎11．(2018·聊城模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.‎ 　[由题意可得，cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，‎ 即sin 2θ＝.因为cos＝＞0，θ∈，所以0＜θ＜，2θ∈，‎ 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，‎ 由两角差的正弦公式，可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ‎＝×－×＝.]‎ ‎12.(2019·潍坊市一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin2－sin C＝1，a＝，b＝4.‎ ‎(1)求角C的大小和BD的长；‎ ‎(2)设∠ACB的角平分线交BD于E，求△CED的面积．‎ ‎[解](1)由题意可得：sin C＋1－2sin2＝0，‎ ‎∴sin C＋cos(A＋B)＝0，‎ 又A＋B＝π－C，‎ ‎∴sin C－cos C＝0，可得tan C＝，‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝，‎ ‎∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3＋4－2××2×cos ＝1，解得BD＝1.‎ ‎(2)由(1)可知BD2＋BC2＝4＝CD2，‎ ‎∴∠DBC＝，∴S△DBC＝BD·BC＝，‎ ‎∵CE是∠BCD的角平分线，‎ ‎∴∠BCE＝∠DCE，‎ 在△CEB和△CED中，S△BCE＝BC·CE·sin∠BCE，‎ S△CED＝CD·CE·sin∠DCE，‎ 可得：＝＝，∴S△BCE＝S△CED，‎ ‎∴代入S△BCE＋S△CED＝S△BCD＝，得S△CED＝，∴S△CED＝＝(2－)＝2－3.‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 三角恒等变换 恒等变换求值 ‎2‎ 平面向量、正(余)弦定理解决面积问题，不等式求最值 平面向量、不等式与三角函数的交汇 ‎【押题1】　已知sin＝，则sin＝________，sin 2α＝________.‎ 　－　[∵sin＝，‎ ‎∴sin＝sin＝sin＝，‎ sin 2α＝－cos ‎＝－1＋2sin2＝－1＋2×＝－.]‎ ‎【押题2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝b.‎ ‎(1)若C＝2B，求cos B的值；‎ ‎(2)若·＝·，求cos的值．‎ ‎[解](1)因为c＝b，则由正弦定理，得sin C＝sin B.‎ 又C＝2B，所以sin 2B＝sin B，即4sin Bcos B＝sin B.‎ 又B是△ABC的内角，所以sin B＞0，故cos B＝.‎ ‎(2)因为·＝·，所以cbcos A＝bacos C，则由余弦定理，得b2＋c2－a2＝b2＋a2－c2，得a＝c.‎ 从而cos B＝＝＝，‎ 又0＜B＜π，所以sin B＝＝.‎ 从而cos＝cos Bcos －sin Bsin ＝×－×＝－.‎