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- 2021-05-24 发布
专题16 导数法妙解极值、最值问题
考纲要求:
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超
过三次).
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．
基础知识回顾:
1、求函数的极值
（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。
（2）求函数的极值的一般步骤
先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。
一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。
（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。
（6）求函数的极值一定要列表。
2、用导数求函数的最值
（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：
①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；
②比较函数值，与
，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。
应用举例
类型一、知图判断函数极值
【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【答案】D
【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
【例2】【2017北京市高三入学定位考试】已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
类型二、正向思维已知解析式求极值或最值
【例3】【2017山东济南市高三摸底考试】设函数f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．
【答案】；－.
【例4】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．
【答案】x＋y－2＝0.；（2）见解析；
【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：
①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
类型三、逆向思维已知极值或最值求参数的值或范围
【例5】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
【答案】－7
【解析】由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
【例6】【2017河北省沧州市高三月考】若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－5,0)B．(－5,0)C．[－3,0)D．(－3,0)
【答案】C
类型四、函数极值与最值的综合性问题
【例7】【2017河南省洛阳市一中高三入学考试】已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
【答案】最小值为f(2)＝1－3ln2；.
【解析】(1)∵f′(x)＝a＋－，∴f′＝a＝1，
故f(x)＝x－－3lnx，则f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝1或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1－3ln2
从而在上，f(x)有最小值，且最小值为f(2)＝1－3ln2.
(2)f′(x)＝a＋－＝(x＞0)，由题设可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，
不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，
则，解得0＜a＜.
故所求a的取值范围为.
点评：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【例8】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
【答案】a＝2，b＝－4，c＝5.；最大值为13，最小值为.
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
类型五、构造函数把不等式恒成立问题转化为求最值问题
【例9】【2017广西南宁高三模拟】已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.
令，则由可得或（舍）
当时，则在上单调递减；
当时，则在上单调递增.
在上恒成立.在上单调递增.
，即.实数的最大值为.
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a
即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
方法、规律归纳:
1、判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．
2、求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
实战演练:
1．【2017江苏泰兴中学高三月考】若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为（）
A．1B．C．D．
【答案】B
2．【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是（）
A．B．0C．D．1
【答案】C
【解析】，解得或，，解得，所以当时，函数增，函数减，所以当时，函数取得最大值，，，，所以最小值是．选C。
3．已知函数，，（为常数）
（1）若在处的切线方程为（为常数），求的值；
（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；
（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
4．已知函数.
（1）当时，讨论的单调区间；
（2）设，当有两个极值点为，且时，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，，递减区间为
（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导数，通过讨论
的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）用表示，，求出的表达式，构造函数，，求出的综上，当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，，递减区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的两个极值点是方程的两个根，则，所以，.
∴.
设，，
则.
∵，
当时，恒有，∴在上单调递减；
∴，∴.
5．已知函数，且
（1）当，求函数的极值；
（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围。
【答案】（1）；（2）
令，得，列表
－
－
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
由表知的极大值是，的极小值是.
（2）因为，所以．
由，得，
整理得．
存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立等价于存在x＞1，使成立．
因为，所以．设，则．
因为时，恒成立，所以在是增函数，
所以，所以，即的取值范围为．
6．已知函数f(x)＝ax2＋x－xlnx.
(1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间及极值；
(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．，无极小值（2）(－∞，0]．
所以函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．，无极小值
(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－xlnx，由f(x)≥bx2＋2x，得x2＋x－xlnx≥bx2＋2x，
又∵x>0，∴b≤1－－恒成立．
令g(x)＝1－－，可得g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝0，
∴实数b的取值范围是(－∞，0]．
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
7．【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知函数．
（1）若，其中为自然对数的底数，求函数的单调区间；
（2）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析;（2）且且．
则，，
∴，∴在上单调递增，观察知，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
8．【江苏省南京市南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟】设为常数）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间的极大值、极小值各有一个，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）
（2）设，则，
令，则，
令，则，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故在处取得极大值，在处取得极小值，
，
所以
①若，则在上单调增，故在无极值，所以；
②若，则在内至多有一个极值点，从而，
于是在区间内分别有极大值、极小值各一个，
则在内无极值点，从而
，
所以的取值范围是.
9．已知函数．
(Ⅰ)若,令函数,求函数在上的极大值、极小值；
(Ⅱ)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在处取得极小值；在处取得极大值（2）
试题解析：解：(Ⅰ)，所以
由得或
减
增
减
所以函数在处取得极小值；在处取得极大值
10．【2017届北京市海淀区高三3月适应性考试】已知函数，．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意，，都有成立．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由，当，，单调递增，所以函数在区间上单调递增，在区间上的最小值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，可知
．由，可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以函数（）在时取得最大值，又，可知，
所以对任意，，都有成立．
试题解析：（Ⅰ）解：由，可得．
当，，单调递减；
当，，单调递增．
所以函数在区间上单调递增，
又，所以函数在区间上的最小值为．