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- 2021-05-24 发布
第1讲 直线与圆
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
热点一 直线的方程及应用
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(A2＋B2≠0)．
例1 (1)(2017届咸阳二模)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 命题q中，直线x＋m2y＝0 的斜率是－1, 所以＝－1，解得m＝±1.所以命题p是命题q成立的充分不必要条件．故选A.
(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
答案 3
解析 由题意，得直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A，直线l2：x＋ky
－2＝0的斜率为－，且经过点B，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C，半径为r＝，
则圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝2，
所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为
d＋r＝2＋＝3.
思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．
(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
跟踪演练1 (1)(2017·杭州质检)设k1, k2分别是两条直线l1, l2的斜率，则“l1∥l2”是“k1＝k2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为l1，l2是两条不同的直线，所以若l1∥l2，
则k1＝k2，反之，若k1＝k2，则l1∥l2.故选C.
(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－ B.或－6
C．－或 D．0或
答案 B
解析 依题意，得＝，
所以|3m＋5|＝|m－7|.
所以(3m＋5)2＝(m－7)2，
整理得2m2＋11m－6＝0.
所以m＝或m＝－6.
热点二 圆的方程及应用
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
例2 (1)(2017届重庆市第八中学月考)若圆C与y轴相切于点P(0，1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是( )
A.2＋2＝2
B.2＋2＝2
C.2＋2＝2
D.2＋2＝2
答案 C
解析 设AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，
∴r＝|AC|＝，∴C，故选C.
(2)若圆C过点(0，1)，(0，5)且圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C的标准方程为______________．
答案 (x－9)2＋(y－3)2＝85或(x－1)2＋(y－3)2＝5
解析 依题意，设圆C的方程为(x－a) 2＋(y－3) 2＝r2(r>0)，则解得a＝9，r2＝85或a＝1, r2＝5，故圆C的方程为(x－9)2＋(y－3)2＝85或(x－1)2＋(y－3)2＝5.
思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)圆心为且与直线x－y＝0相切的圆的方程为( )
A.2＋y2＝1 B.2＋y2＝12
C.2＋y2＝6 D.2＋y2＝9
答案 B
解析 由题意可知，圆的半径为点到直线的距离，
即r＝d＝＝2 ，
结合圆心坐标可知，圆的方程为2＋y2＝12 .
(2)(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．
(3)|r1－r2|，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，即<1 ，可得|b|< ，此时a>不一定成立(a可能为负数)；若a> ，可得 即b20，所以t≥1＋，所以mn≥3＋2.故mn有最小值3＋2，无最大值．故选B.
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.
押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．
答案
解析 联立两圆方程
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为
＝(a>0)．
故2＝2，解得a2＝，
因为a>0，所以a＝.
A组 专题通关
1．(2017·河南省郑州市第一中学调研)点在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案 C
解析 将点代入直线方程，求得a＝ ，所以直线l：x－y＋1＝0 ，斜率k＝ ，所以倾斜角为60°，故选C.
2．(2017届吉林大学附属中学模拟)若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.
3．直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 设P(a,1) ，Q(b，b－7) ，所以
解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)，
所以直线l的斜率k＝＝－，故选C.
4．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为( )
A．0 B．－
C．0或 D.
答案 C
解析 当a＝0时，直线ax＋y－1＝0，即直线y＝1，此时过点P且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，而x＝1与圆相切，满足题意，所以a＝0成立；当a≠0时，过点P且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，可设该直线方程为y－2＝，即x－ay＋2a－1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得＝1，解得a＝.所以a＝0或.故选C.
5．(2017·广西陆川县中学知识竞赛)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－10y＋25＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋3y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
答案 A
解析 由题设可知，线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1,2)，C2(－2,5)，由此可得kC1C2＝＝－1，故由点斜式方程可得y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故选A.
6．(2017届哈尔滨市第三中学模拟)若圆2＋2＝r2上有且只有两个点到直线x－y＋1＝0的距离等于，则半径r的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，所以当半径r＝＋＝2时，圆上有三个点到x－y＋1＝0的距离等于；当半径r＝－＝时，圆上有一个点到x－y＋1＝0的距离等于.所以当半径0，解得a≥6，故选D.
15．(2017·浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考)已知圆C：x2＋2＝3，设EF为直线l：y＝2x＋4上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥，则的最小值是______________．
答案 2
解析 若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥，则圆C上的任意一点都在以线段EF为直径的圆内，圆心C到直线l的距离为d＝＝ ，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为＋，所以以线段EF为直径的圆的半径的最小值为＋，则的最小值是2.
16．在平面直角坐标系中，若直线l与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：2＋2＝49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为________．
答案 7
解析 由题意可采用数形结合法，两圆的圆心坐标及半径分别为
C1，C2，r1＝1，r2＝7，则直线C1C2的斜率为1，其倾斜角为45°，设直线l的斜率为k(k>1)，倾斜角为αl，两直线的交点为P，其夹角为α，两个切点为A，B，如图所示，
则＝10, sin α＝＝，
故tan α＝，又α＝αl－45°，由两角差的正切公式，得＝，解得k＝7.