【数学】2019届一轮复习人教A版充分条件、必要条件、充要条件的判断学案（理）(1) 11页

母题 4 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【母题原题 1】【2017 天津，理 4】设 ，则“ ”是“ ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查 生 的转化能力和计算求解能力． 【母题原题 2】【2017 天津，理 4】 设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【考点】充要条件 _ _ 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是 的充分而不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要而不充分条 件． x∈R 1 1 2 2x − < 3 1x < θ ∈R π π| |12 12 θ − < 1sin 2 θ < p q⇒ p q q p⇒ p q p q⇔ p q A B⊆ A B B A⊆ A B A B= A B A B A B B A A B 【母题原题 3】【2015 天津，理 4】 设 ，则“ ”是“ ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 ， 或 ，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A． 【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件． 【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式与 一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用 数 知识解决问题的能力，是基础题 【母题原题 4】【2014 天津，理 7】 【2014 天津，理 7】设 ，则|“ ”是“ ”的 （　　） A．充要不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充要又不必要条件 【答案】C． 考点：1．充分条件、必要条件、充要条件的判断；2．不等式的性质． / . 【名师点睛】本题考查函数的单调性和充要条件，本题属于基础题，本题函数的单调性与不等式为 载体，考查充要条件．考查 生对充要条件的理解．充要条件问题有两种：一种是本题类型，利用充 要条件定义判断，另一种借助数集的包含关系加以说明． 充要条件问题主要命题方法有两种，一种 为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻求结论成立的某种条件是什么？近几年高考充要条件命 题以选填题为主，表面看很简单．但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以随意选材，所以涉 及知识较多，需要扎实的基本功． x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − > 2 1 1 2 1 1 3x x x− < ⇔ − < − < ⇔ < < 2 2 0 2x x x+ − > ⇔ < − 1x > 2 1x − < 2 2 0x x+ − > ,a b RÎ a b> a a b b> 【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查命题真假的判断、集合的包含关 系、充要条件的判断等 【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是简单命题真假的判断；一 种是含有逻辑联结词的符合命题真假的判断；一种是含有全称量词或特称量词的命题的否定；一种 是四种命题的关系的应用；是充要条件的判断，重点是对基础知识进行考查，掌握基本概念是备考 中应该注意的方面． 【答题模板】解答本类题目，以 2017 年试题为例，一般考虑如下三步： 第一步： 解读条件所表示的含义：本题解不等式“ ”得出解 ，有 第二步：解读结论所表示的含义， 满足不等式“ ”， 第三步：考查两者之间的关系，给出结论． 【方法总结】 1．有关充要条件的判断方法： ①当“若 p 则 q”是真命题时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； ②当“若 p 则 q”的逆命题为真时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件； ③当“若 p 则 q”， “若 q 则 p”均为真时，称 p 是 q 的充要条件； 2．在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论 要分四种 ．X．X． 情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件．从集 合角度看，若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A，满足条件 q 的所有对象组成集合 q，则 ② 当 A B 时，p 是 q 的充分条件； ②B A 时，p 是 q 的充分条件； ③ A=B 时，p 是 q 的充要条件； 注：⑴当 p 和 q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想． ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围． 3．与命题有关的基础知识 （1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； （2）复合命题的形式： p 且 q，p 或 q，非 p；(“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题 ⊆ ⊆ 12 12 π πθ − < 0 6 πθ< < 10 sin 2 θ< < 1sin 2 θ < 是简单 命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．) ①“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假即当 q、p 为真时，p 且 q 为真；当 p、q 中有一个为假时，p 且 q 为假． ②“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真即当 p、q 均为假时，p 或 q 为假；当 p、q 中有一个为真时，p 或 q 为真； ； ③“非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反即当 p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真． 4． 四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非 p 则非 q”，逆命题为“若 q 则 p“，逆 否命题为” | | 若“非 q 则非 p”，其中互为逆否的两个命题同真假，即“⇔”． ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真． （否命题 逆命题．）②一个命题为真，则 它的逆否命题一定为真．（ 原命题 逆否命题．） + + 5．反证法是中 数 的重要方法．会用反证法证明一些代数命题． 1．【2018 年天津市河西区高三三模】设 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要 条件 【答案】C 【解析】分析：先求出两直线垂直的充要条件，再利用集合间的包含关系进行判定． 详解：若直线 和直线 平行， 则 ，即 ， 即“ ”是“直线 和 直线 平行”的充分必要条件． ⇔ ⇔ 点睛：本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查 生的逻辑思维能 力和基本计算能力． 2．【天津市部分区 2018 年高三质量调查（二）】存在实数 ，使 成立的一个必要不 充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 点睛：本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题． 充分、必要条件的三种判断方法． （1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充分条件． （2）等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或 结论是否定式的命题，一般运用等价法． （3）集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件． 3．【天津市河东区 2018 届高三高考二模】设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件 【答案】A 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式和分式不等式的解法，以及充分必要条件的判断，在解题的 过程中，需要先将不等式的解集求出，之后应用集合间的关系得到结果． 4 ．【 天 津 市 十 二 校 2018 年 高 三 二 模 】 已 知 为 实 数 ， 直 线 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 充要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：根据直线平行的条件以及充分不必要条件的定义即可判断． 详解：直线 ， ， 若“ ”，则 ，解得 或 ， 即 时，可推出 ， 不能推出 ， 故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A． 点睛：本题主要考查直线平行的性质以及充分条件与必要条件，属于简单题．高中数 的每个知识点 都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注 意一下几点：（1）要看清 ，还是 ；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3） 或 成 立，不能推出 成立，也不能推出 成立， 且 成立，即能推出 成立，又能推出 成立；（4） 一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提． 5．【2018 届天津市滨海新区七所重点 校高三毕业班联考】设 ，则“ ”是“ ”的 （ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 x R∈ 1x < 2 0x x − < 【答案】A 【解析】由 ，解得 ，由 ，可知“ ”是“ ”的 充分不必要条件，选 A． 6．2018 年天津市十二重点中 高三毕业班联考【】设条件 ：函数 在 上单调递增，条件 ：存在 使得不等式 成立，则 是 的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】C 7．【天津市静海县第一中 2017-2018 年高二上 期期末】设 为实数，直线 ， ，则“ ” 是“ ”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 ，解得 ，所以是必要不充分条件．故选 B．x/ w 8．【天津市部分区 2018 届高三上 期期末考试】“ ”是“ ”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由 cos 2 =0 得 2 = π+ ，即 = + ， ∈ ，则“ ”是“cos 2 =0”的充分 不必要条件，故选：A． 点睛：设命题 对应的集合分别为 A，B，则有：（1）若 是 的充分条件 ；（2）若 是 的充分不必要条件  ．解决此类问题时先根据以上结论将充分必要条件的问题转化 为集合间的包含关系，然后再化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式的等号是否能取到． 9．【天津市红桥区 2017-2018 年高二上 期期末考】已知 是实数，则“ ”是“ ”的 （ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 2 0x x − < ( ), 2−∞ ( ) ( ),1 , 2−∞ ⊆ −∞ 1x < 2 0x x − < p ( ) ( )2 3log 2f x x x= − ( ),a +∞ q x R∈ 2 1 2 1x x a+ + − ≤ p q a 1 : 1l ax y+ = 2 : 2l x ay a+ = 1 2/ /l l 1a = − 1 1 1 2 a a a = ≠ 1a = ± 4 πα = cos2 0α = α α 2 π α π 2 k 4 π 4 πα = α ,p q p q A B⇔ ⊆ p q A⇔ B , ,a b c a b> 2 2ac bc> C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由条件知 是实数，则“ ”不一定有“ ”，当 时；反之 ， 两边消去非零正数 ，得到 ．故 ”是“ ”的必要而不充分条件．故答案为：B． 10．【天津市滨海新区大港油田第一中 2017-2018 年高三上 期期中考试】函数 f(x)＝ ax3＋ ax2－ 2ax＋2a＋1 的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是(　　) A． － ＜a＜－ B． －1＜a＜－ C． － ＜a＜－ D． －2＜a＜0 【答案】B 点睛：（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容， 熟悉图象所能够表达的函数的性质． （2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研 究． 11．【天津市第一中 2018 届高三下 期第五次月考】已知数列 是等差数列， ， ， 为正整数， 则“ ”是“ ”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 ，则 ，即 ，若“ ” 则 时， 时， ，不一定成立， “ ”是 “ ”的充分不必要条件，故选 A． , ,a b c a b> 2 2ac bc> 0c = 2 2ac bc> 2c a b> a b> 2 2ac bc> 1 3 1 2 4 3 1 3 1 2 6 5 3 16 12 ．【天津市蓟州区第一中 2017-2018 年度高二第一 期第二次月考】设函数 ，则 “ ”是“ ”的 （ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条 件 【 】【全国百强校】数 （理）试题 【答案】B 13．【天津市第一中 2018 届高三上 期第二次月考】 是 的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，两边同乘以 得： ，当 时，可得 ，推不 出 ，综上 是 的充分不必要条件，故选 A． 14．【2018 山东潍坊市青州市高三三模】下列命题中，正确的命题序号是__________．（请填上所有 正确的序号） ①已知 ，两直线 ，则“ ”是“ ”的充分条件； ②“ ”的否定是“ ”； ③“ ”是“ ”的必要条件； ④已知 ，则“ ”的充要条件是“ ” 【答案】①③④ “ 2”x > 1 1“ ”2x < 2x > 1 02x > 1 2x 1 1 2 x > 1 1 2 x > 0x < 2x > “ 2”x > 1 1“ ”2x < 对于④，已知 ，则“ ” “ ”反之也成立，故正确， 故答案为①③④．x/ //w 点睛：本题主要考查直线平行的性质、全称命题的否定以及充要条件的判断，属于难题． 判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 ．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可 利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可 以转化为包含关系来处理． 15．【天津市和平区 2017-2018 年高二上 期期末考】已知命题 ： 表示双曲线， 命题 ： 表示椭圆． （1）若命题 与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？ （请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条 件”中的哪一个） （2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1） 是 的必要不充分条件（2） 或 ． 【解析】试题分析：（1） 根据双曲线的定义，若命题 为真命题则 ，若 都为真命题 则 或 ，由 ，可得 是 的必要不 充分条件；（2）由 为假命题，且 为真命题，可得 一真一假，分两种情况讨论， 对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值 P 2 2 11 4 x y m m + =− − q 2 2 12 4 x y m m + =− − P q P q P q∧ P q∨ m P q 1 2m< ≤ 3m = p 1 4m< < q 2 3m< < 3 4m< < { }|1 4 {2 3 3 4}m m m m< < ⊇ < < < <或 P q P q∧ P q∨ ,p q p q p q m 范围．． 试题解析：（1）∵命题 ： 表示双曲线是真命题， 为真，有 ，① 为假， 或 或 ② 由①②解得 或 ，当 假真时，由（1）可知， 为假，有 或 ，③ 为真，有 或 ④ 由③④解得，无解． 综上，可得实数 的取值范围为 或 ． 【方法点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题． 判断充要条件 应 注 意 ： 首 先 弄 清 条 件 和 结 论 分 别 是 什 么 ， 然 后 直 接 依 据 定 义 、 定 理 、 性 质 尝 试 ． 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外， 还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题 也可以转化为包含关系来处理． P 2 2 11 4 x y m m + =− − P 1 4m< < q 2m ≤ 3m = 4m ≥ 1 2m< ≤ 3m = P P 1m ≤ 4m ≥ q 2 3m< < 3 4m< < m 1 2m< ≤ 3m = p q ,p q q p⇒ ⇒