2019届二轮复习（文）第十章计数原理、概率第1节课件（30张）（全国通用） 30页

第 1 节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新考纲　 1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； 2. 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 . 1. 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ ___________ 种 不同的方法 . 知 识 梳 理 m ＋ n 2. 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ __________ 种 不同的方法 . m × n 3. 分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对 “ 分类 ” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对 “ 分步 ” 问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事 . [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步 . 在 处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚 “ 分类 ” 与 “ 分步 ” 的具体标准是什么 . 选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏 . 2.(1) 分类要做到 “ 不重不漏 ” ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数 . ( 2) 分步要做到 “ 步骤完整 ” ，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 . 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 .( 　　 ) (2) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 .( 　　 ) (3) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 .( 　　 ) (4) 在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 .( 　　 ) 解析　 分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以 (1) ， (4) 均不正确 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 2. 从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为 ( 　　 ) A.6 B.5 C.3 D.2 解 析　 5 个人中每一个都可主持，所以共有 5 种选法 . 答 案 　 B 3. ( 选修 2 － 3P28B2 改编 ) 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( 　　 ) A.24 种 B .30 种 C.36 种 D .48 种 解析 　需要先给 C 块着色，有 4 种结果；再给 A 块着色，有 3 种结果；再给 B 块着色，有 2 种结果；最后给 D 块着色，有 2 种结果，由分步乘法计数原理知共有 4 × 3 × 2 × 2 ＝ 48( 种 ). 答案 　 D 4. (2018· 舟山调研 ) 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言 ________ 条；若每两个同学互通一次电话，那么共通 ________ 次电话 ( 均用数字作答 ). 答案 　 1 560 　 780 5.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 ________ 种 ( 用数字作答 ). 解 析 　每位同学都有 2 种报名方法，因此，可分五步安排 5 名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ＝ 32( 种 ). 答 案 　 32 6. 已知某公园有 5 个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为 ________( 用数字作答 ). 解 析　 分两步，第一步选一个门进有 5 种方法，第二步再选一个门出有 4 种方法，所以共有 5 × 4 ＝ 20 种走法 . 答 案 　 20 考点一　分类加法计数原理 【例 1 】 (1) 三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 ( 　　 ) A.4 种 B.6 种 C.10 种 D.16 种 ( 2) (2017· 温州十校联考 ) 满足 a ， b ∈ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2} ，且关于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ b ＝ 0 有实数解的有序数对 ( a ， b ) 的个数为 ( 　　 ) A.14 B.13 C.12 D.10 解析　 (1) 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有 3 种方法 ( 如图 ) ，       同 理，甲先传给丙时，满足条件有 3 种踢法 . 由分类加法计数原理，共有 3 ＋ 3 ＝ 6 种传递方法 . ( ⅲ ) 若 a ＝ 2 时， b ＝－ 1 ， 0 ，有 2 种可能 . ∴ 有序数对 ( a ， b ) 共有 4 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 13( 个 ). 答案　 (1)B 　 (2)B 规律方法 　分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置 . (1) 根据题目特点恰当选择一个分类标准 . (2) 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复 . (3) 分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例 (2) 中易漏 a ＝ 0 这一类 . 解析　 (1) 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O ，有 1 种走法；第二类，中间过一个点，有 A → B → O 和 A → C → O 共 2 种不同的走法；第三类，中间过两个点，有 A → B → C → O 和 A → C → B → O 共 2 种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有 1 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 5 种不同的走法 . (2) 当 m ＝ 1 时， n ＝ 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 共 6 个 当 m ＝ 2 时， n ＝ 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 共 5 个； 当 m ＝ 3 时， n ＝ 4 ， 5 ， 6 ， 7 共 4 个； 当 m ＝ 4 时， n ＝ 5 ， 6 ， 7 共 3 个； 当 m ＝ 5 时， n ＝ 6 ， 7 共 2 个，故共有 6 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 20 个 . 答案 　 (1)5 　 (2)20 考点二　分步乘法计数原理 【例 2 】 (1) 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有 ( 　　 ) A.10 种 B.2 5 种 C.5 2 种 D.2 4 种 ( 2) 定义集合 A 与 B 的运算 A * B 如下： A * B ＝ {( x ， y )| x ∈ A ， y ∈ B } ，若 A ＝ { a ， b ， c } ， B ＝ { a ， c ， d ， e } ，则集合 A * B 的元素个数为 ________( 用数字作答 ). 解析　 (1) 每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步 . 由分步乘法计数原理，共有 2 4 种不同的走法 . (2) 确定 A * B 中的元素是 A 中取一个元素来确定 x ， B 中取一个元素来确定 y ，由分步乘法计数原理可知 A * B 中有 3 × 4 ＝ 12 个元素 . 答案　 (1)D 　 (2)12 规律方法 　 (1) 在第 (1) 题中，易误认为分 5 步完成，错选 B. (2) 利用分步乘法计数原理应注意： ① 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的 . ② 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事 . 【训练 2 】 (1) 把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有 ( 　　 ) A.24 种 B.4 种 C.4 3 种 D.3 4 种 ( 2) 设集合 A ＝ { － 1 ， 0 ， 1} ， B ＝ {0 ， 1 ， 2 ， 3} ，定义 A * B ＝ {( x ， y )| x ∈ A ∩ B ， y ∈ A ∪ B } ，则 A * B 中元素的个数为 ________( 用数字作答 ). 解析　 (1) 第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法；第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法 . 由分步乘法计数原理可得共有 4 3 种方法 . (2) 易知 A ∩ B ＝ {0 ， 1} ， A ∪ B ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} ， ∴ x 有两种取法， y 有 5 种取法 . 由分步乘法计数原理， A * B 的元素有 2 × 5 ＝ 10( 个 ). 答案 　 (1)C 　 (2)10 考点三　两个计数原理的综合应用 【例 3 】 (1) 用数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( 　　 ) 1 4 5 2 3 A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 (2) 如图所示，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 ) ，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为 ________( 用数字作答 ). 答案　 (1)B 　 (2)96 规律方法 　 (1) ① 注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步 . 在分步时可能又用到分类加法计数原理 . ② 注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化 . (2) 解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成 . 第 (2) 题中，相邻区域不同色，是按区域 1 与 3 是否同色分类处理 . 【训练 3 】 (1) 如果一个三位正整数如 “ a 1 a 2 a 3 ” 满足 a 1 < a 2 ，且 a 2 > a 3 ，则称这样的三位数为凸数 ( 如 120 ， 343 ， 275 等 ) ，那么所有凸数的个数为 ( 　　 ) A.240 B.204 C.729 D.920 (2) (2018· 湖州测试 ) 从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择 3 个， 4 个， 5 个， … ， 10 个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为 ________( 用数字作答 ). 解析　 (1) 若 a 2 ＝ 2 ，则百位数字只能选 1 ，个位数字可选 1 或 0 “ 凸数 ” 为 120 与 121 ，共 2 个 . 若 a 2 ＝ 3 ，则 “ 凸数 ” 有 2 × 3 ＝ 6( 个 ). 若 a 2 ＝ 4 ，满足条件的 “ 凸数 ” 有 3 × 4 ＝ 12( 个 ) ， … ，若 a 2 ＝ 9 ，满足条件的 “ 凸数 ” 有 8 × 9 ＝ 72( 个 ). ∴ 所有凸数有 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 42 ＋ 56 ＋ 72 ＝ 240( 个 ). 答案　 (1)A 　 (2)968