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- 2021-05-24 发布
第1讲 函数的图象与性质
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．
2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．
3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.
常见结论：
(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
(2)f(x＋a)＝⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称．
例1 (1)(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
答案 6
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)已知函数f(x)＝2 016x＋log2 016(＋x)－2 016－x，则关于x的不等式f(3x＋1)＋f(x)>0的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 f(－x)＝2 016－x－2 016x＋log2 016(－x)，其中log2 016(－x)＝log2 016
＝－log2 016(＋x)，则f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且函数是单调递增函数．那么原不等式等价于f(3x＋1)>－f(x)⇔f(3x＋1)>f(－x)，
即3x＋1>－x⇒x>－，故选D.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)0时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有两个实数根．画出y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的图象如图所示，由图可知当a＝2时有两个解．
思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为( )
答案 C
解析 令f(x)＝，
∵f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，
∴排除选项A，D.
由1－cos x≠0，得x≠2kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.
(2)已知函数f(x)＝＋，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中，函数f′(x)与g(x)的图象不可能是( )
答案 B
解析 因为f(x)＝＋，
所以f′(x)＝ax2－x＋，
若a＝0，则选项D是正确的，故排除D.
若a<0，选项B中的二次函数的判别式Δ＝1－4a·＝1－2a2<0，所以a2>，又a<0，所以a<－.
二次函数f′(x)的图象的对称轴为x＝.
三次函数g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，
所以g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2，
令g′(x)>0，得x<或x>，
令g′(x)<0，得，
所以选项B的图象错误，故选B.
热点三 基本初等函数的图象和性质
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
例3 (1)(2017·深圳调研)设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案 B
解析 根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0log0.30.3＝1，c＝log30.2a>c，故选B.
(2)(2017届福建福州外国语学校期中)函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(2,3] D．(2，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)在R上单调递增，
∴∴21.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故选D.
(2)设函数f(x)＝ (a>0且a≠1)．若f(x)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 函数f(x)＝(a>0，且a≠1)．
若f(x)在R上是增函数，则有∴a≥2.
真题体验
1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为________．(填序号)
答案 ④
解析 当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除②；
当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除①③.
故填④.
2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f ，b＝f，c＝f
(20.8)，则a，b，c的大小关系为____________．
答案 c1,01时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；
当01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
2．(2017届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f ＝f ，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于( )
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性．
答案 D
解析 由f ＝f ，可得f(x＋2)＝f(x)，则当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，故选D.
3．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．
押题依据
分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．
答案 (－2,0)∪(0,2)
解析 因为当x>0时，h(x)＝
易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，
所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，
所以即
解得－21时，ln|x|>0，y＝>0，排除D；
当x<－1时，ln|x|>0，y＝<0，排除C，故选B.
6．(2017届安徽百校论坛联考)已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax (a>0且a≠1)对∀x∈恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，故x2≤2logax对∀x∈恒成立，即当x∈时，函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，由图(图略)知00时，函数只有一个零点，而y＝是以x轴为中心的波浪线，所以B排除；当x→－∞时，y＝2x－x2－1→－∞，所以A排除；函数y＝(x2－2x)ex的图象在x→－∞时，y→0，在01的x的取值范围是________．
答案
解析 由题意知，可对不等式分x≤0,0＜x≤，x＞三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立．
当x＞时，原不等式为2x＋2x－＞1，显然成立．
综上可知，x＞－.
10．(2017届江西吉安一中段考)若函数f(x)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝ 则f ＝________.
答案
解析 f ＝f ＝－f
＝－sin ＝，
f ＝×＝.
11．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f(x)＝ex＋x3，若f(x2)0，所以函数f(x)为增函数，所以不等式f(x2)0时，函数f(x)＝x＋－a的最小值2－a≥f(0)，即2－a≥a2，解得－2≤a≤1.综上所述，实数a的取值范围是[0,1]．
B组 能力提高
13．(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．
故选C.
14．(2017届河北武邑中学调研)已知函数f(x)＝＋sin πx 在[0,1)上的最大值为m，在(1,2]上的最小值为n，则m＋n等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 D
解析 f(x)＝＋sin πx＝1＋＋sin πx，
记g(x)＝＋sin πx，则当x∈[0,1)时，g(2－x)＝＋sin π(2－x)＝－sin πx，即在区间[0,1)∪(1,2]上，函数f(x)关于点(1,1)成中心对称，∴m＋n＝2，故选D.
15．(2017届湖北省部分重点中学联考)已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若正实数a，b满足f(4a)＋f(b－9)＝0，则＋的最小值为________．
答案 1
解析 因为f(－x)＝－f(x)，故由题设可得当4a＋b＝9，即＋＝1时，则＋＝
＝≥(5＋4)＝1，当且仅当b＝2a时取等号．
16．(2017届福建连城县二中期中)对于函数：①f(x)＝lg(|x－2|＋1)；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是________．
答案 ②
解析 ①若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；但f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假．②f(x)＝(x－2)2，则f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；f(x＋2)－f(x)＝4x－4在(－∞，＋∞)上是增函数，此时命题丙为真．③若f(x)＝cos(x＋2)，则f(x＋2)不是偶函数，此时命题甲为假；f(x)在(－∞，2)上不是减函数，在(2，＋∞)上不是增函数，此时命题乙为假；f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假，故答案为②.