2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2 25页

2.3.1 　两条直线的交点坐标 激趣诱思 知识点拨 由直线方程的概念 , 我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系 , 那如果两直线相交于一点 , 这一点与这两条直线的方程有何关系 ? 激趣诱思 知识点拨 两条直线的交点 1 . 已知两条直线的方程是 l 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 = 0, l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0, 设这两条直线的交点为 P , 则点 P 既在直线 l 1 上 , 也在直线 l 2 上 . 所以点 P 的坐标既满足直线 l 1 的方程 A 1 x+B 1 y+C 1 = 0, 也满足直线 l 2 的方程 A 2 x+B 2 y+C 2 = 0, 即点 P 的坐标就是方程组 2 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 如果两条直线相交 , 则交点坐标分别适合两条直线的方程 , 即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 直线 x+y= 5 与直线 x-y= 3 交点坐标是 ( 　　 ) A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1) 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 两条直线的交点问题 例 1 分别判断下列直线是否相交 , 若相交 , 求出它们的交点 . (1) l 1 :2 x-y= 7 和 l 2 :3 x+ 2 y- 7 = 0; (2) l 1 :2 x- 6 y+ 4 = 0 和 l 2 :4 x- 12 y+ 8 = 0; (3) l 1 :4 x+ 2 y+ 4 = 0 和 l 2 : y=- 2 x+ 3 . 思路分析 : 直接将两直线方程联立方程组 , 根据方程组解的个数判断两直线是否相交 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 两直线位置关系的判断方法及应用 涉及两直线交点的问题 , 通常是先求交点坐标 , 再进一步解决问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知直线 5 x+ 4 y= 2 a+ 1 与直线 2 x+ 3 y=a 的交点位于第四象限 , 则 a 的取值范围是 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 过两直线交点的直线系方程 例 2 (1) 求经过点 P (1,0) 和两直线 l 1 : x+ 2 y- 2 = 0, l 2 :3 x- 2 y+ 2 = 0 交点的直线方程 ; (2) 无论实数 a 取何值 , 方程 ( a- 1) x-y+ 2 a- 1 = 0 表示的直线恒过定点 , 试求该定点 . 思路分析 : (1) 设所求直线方程为 x+ 2 y- 2 + λ (3 x- 2 y+ 2) = 0, 再将 x= 1, y= 0 代入求出 λ , 即得所求直线方程 . (2) 将直线方程改写为 -x-y- 1 +a ( x+ 2) = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 设所求直线方程为 x+ 2 y- 2 + λ (3 x- 2 y+ 2) = 0 . ∵ 点 P (1,0) 在直线上 , ∴ 1 - 2 + λ (3 + 2) = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用直线系方程求直线的方程 经过两直线 l 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 = 0, l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0 交点的直线方程可写为 A 1 x+B 1 y+C 1 + λ ( A 2 x+B 2 y+C 2 ) = 0( 它不能表示直线 l 2 ) . 反之 , 当直线的方程写为 A 1 x+B 1 y+C 1 + λ ( A 2 x+B 2 y+C 2 ) = 0 时 , 直线一定过直线 l 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 与直线 l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0 的交点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知直线 l 经过原点 , 且经过另两条直线 2 x+ 3 y+ 8 = 0 , x-y- 1 = 0 的交点 , 则直线 l 的方程为 ( 　　 ) A . 2 x+y= 0 B . 2 x-y= 0 C .x+ 2 y= 0 D .x- 2 y= 0 ( 方法 2) 设直线 l 的方程为 2 x+ 3 y+ 8 + λ ( x-y- 1) = 0, 因其过原点 , 所以 8 + ( - λ ) = 0, λ = 8, 直线 l 的方程为 2 x-y= 0 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 对称问题 例 3 光线通过点 A (2,3) 在直线 l : x+y+ 1 = 0 上反射 , 反射光线经过点 B (1,1), 试求入射光线和反射光线所在直线的方程 . 思路分析 : 求点 A 关于直线 l 的对称点 A' → 求反射光线所在直线的方程 → 求入射光线与反射光线的交点坐标 → 求入射光线所在的直线方程 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 点关于直线的对称点的求 法 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 直线 y= 2 x 是 △ ABC 的一个内角平分线所在的直线 , 若 A , B 两点的坐标分别为 A ( - 4,2), B (3,1), 求点 C 的坐标 . 解 : 把 A , B 两点坐标代入 y= 2 x 知 , A 、 B 不在直线 y= 2 x 上 , 因此 y= 2 x 为角 C 的平分线 , 设点 A ( - 4,2) 关于 y= 2 x 的对称点为 A' ( a , b ), 则 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 一题多解 —— 求直线的方程 典例 过点 P (3,0) 作一直线分别交直线 2 x-y- 2 = 0 和 x+y+ 3 = 0 于点 A , B , 且点 P 恰好为线段 AB 的中点 , 求此直线的方程 . 解 : 分析一 : 设出直线的方程 , 求出交点的坐标 , 再用中点坐标公式 . 解法一 : 若直线斜率不存在 , 则方程为 x= 3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ∴ k= 8 . ∴ 所求直线方程为 y= 8( x- 3), 即 8 x-y- 24 = 0 . 分析二 : 设出 A ( x 1 , y 1 ), 由 P (3,0) 为 AB 的中点 , 易求出 B 的坐标 , 而点 B 在另一直线上 , 从而求出 x 1 、 y 1 的值 , 再由两点式求直线的方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解法二 : 设 A 点坐标为 ( x 1 , y 1 ), 则由 P (3,0) 为线段 AB 的中点 , 得 B 点坐标为 (6 -x 1 , -y 1 ) . ∵ 点 A , B 分别在已知两直线上 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分析三 : 由于 P (3,0) 为线段 AB 的中点 , 可对称地将 A , B 坐标设为 (3 +a , b ),(3 -a , -b ), 代入已知方程 . 解法三 : ∵ P (3,0) 为线段 AB 的中点 , ∴ 可设 A (3 +a , b ), B (3 -a , -b ) . ∵ 点 A , B 分别在已知直线上 , 点评 : 解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累 , 以上三种解法各有特点 , 要善于总结 , 学习其简捷解法 , 以提高解题速度 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 直线 2 x+y+ 8 = 0 和直线 x+y- 1 = 0 的交点坐标是 ( 　　 ) A.( - 9, - 10) B.( - 9,10) C.(9,10) D .(9, - 10) 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 直线 2 x+ 3 y-k= 0 和直线 x-ky+ 12 = 0 的交点在 x 轴上 , 则 k 的值为 ( 　　 ) A. - 24 B.24 C.6 D. ± 6 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 已知直线 l 1 : ax+y- 6 = 0 与 l 2 : x+ ( a- 2) y+a- 1 = 0 相交于点 P , 若 l 1 ⊥ l 2 , 则点 P 的坐标为 　　　　　　 .   解析 : ∵ 直线 l 1 : ax+y- 6 = 0 与 l 2 : x+ ( a- 2) y+a- 1 = 0 相交于点 P , 且 l 1 ⊥ l 2 , ∴ a× 1 + 1 × ( a- 2) = 0, 解得 a= 1, 答案 : (3,3 ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 求证 : 不论 m 为何值 , 直线 ( m- 1) x+ (2 m- 1) y=m- 5 都通过一定点 . 证明 : 将原方程按 m 的降幂排列 , 整理得 ( x+ 2 y- 1) m- ( x+y- 5) = 0, 此式对于 m 的任意实数值都成立 , 根据恒等式的要求 , m 的一次项系 ∴ m 为任意实数时 , 所给直线必通过定点 (9, - 4) .