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- 2021-05-21 发布
课时训练 15 不等关系与不等式
一、不等式性质的直接应用与判断
1.若
1
1
<0,则下列结论不正确的是( )
A.a22 D.
<1
答案:D
解析:由
1
1
<0 可知,bb,则下列不等式中成立的是( )
A.a2>b2 B.
1
1
C.
1
-
1
D.a3>b3
答案:D
解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2 不成立;
B.虽然 3>-2,但是
1
3
1
-
2
不成立;
C.虽然 2>-3,但是
1
2
-(-
3
)
1
2
不成立;
D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.
∵
2
2
=
1
2
2
3
4
2
成立.
综上可知,只有 D 正确.故选 D.
3.已知下列说法:
①若 aab;②若 a≥b,ac≥bc,则 c≥0;③若 a>b>0,c<0,则
;④若 0loga
1
1
其中正确的有 .
答案:①③④
解析:对于①,由 aab,故①正确;
对于②,当 a=b 时,c 可以为负数,故②错误;
对于③,当 a>b>0 时,得 0<
1
1
,
又 c<0,∴
,故③正确;
对于④,当 01,则 1+a<1+
1
,
∴loga(1+a)>loga
1
1
,故④正确.
二、利用不等式的性质比大小
4.(2015 山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab 恒成立的个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:D
解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;
②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;
③a2+b2-ab=
-
1
2
2
3
4
b2≥0,当且仅当 a=b=0 时取等号,正确.
综上可得:①②③都恒成立.故选 D.
5.若 A=a2+3ab,B=4ab-b2,则 A,B 的大小关系是 ( )
A.A≤B B.A≥B
C.AB D.A>B
答案:B
解析:∵A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=
-
2
2
3
4
b2≥0,
∴A≥B.
6.(2015 河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为 v1,下山的速度为
v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是
1 2
2
(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人
上下山所用的时间 t1,t2 的大小关系为 .
答案:t1>t2
解析:由题意知,甲用的时间 t1=
1
2
=S·
1 2
1 2
,
乙用的时间 t2=2×
1 2
2
=
4
1 2
.
∵t1-t2=S·
1 2
1 2
4
1 2
=S
1 2
1 2
-
4
1 2
=S (
1
-
2
)
2
1 2
(
1 2
)>0.∴t1>t2.
7.已知 a,b,x,y 均为正实数,且
1
1
,x>y,试判断
与
的大小关系.
解:因为
=
-
(
)(
),
又
1
1
且 a>0,b>0,所以 b>a>0.
又 x>y>0,所以 bx>ay,即 bx-ay>0.
又 x+a>0,y+b>0,
所以
-
(
)(
)>0,即
.
三、利用不等式的性质求代数式范围
8.设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤
2
≤9,则
3
4
的最大值是 .
答案:27
解析:∵4≤
2
≤9,∴16≤
4
2
≤81. ①
∵3≤xy2≤8,∴
1
8 ≤
1
2 ≤
1
3
. ②
由①②可得 2≤
4
2 ·
1
2
≤27,即 2≤
3
4
≤27.
∴
3
4
的最大值为 27.
9.已知 1b>0,c-d>0.∴0<-
1
<-
1
.
又 a>b>0,∴-
>-
>0.
∴
3
-
3
-
,即-3
>-3
b
c
.
两边同乘以-1,得
3
3
.
(建议用时:30 分钟)
1.若 a,b∈R,且 a>b,则( )
A.a2>b2 B.
<1
C.lg(a-b)>0 D.
1
2
1
2
答案:D
解析:∵a>b,无法保证 a2>b2,
<1 和 lg(a-b)>0,
∴排除 A 与 B,C,故选 D.
2.如果 ab>c,则下列不等式成立的是( )
A.
1
-
1
-
B.
1
-
1
-
C.ac>bc D.acb>c,∴a-c>b-c>0.
∴
1
-
1
-
.
故选 B.
4.下列结论正确的是( )
A.若 a>b>0,a>c,则 a2>bc
B.若 a>b>c,则
C.若 a>b,n∈N*,则 an>bn
D.a>b>0,则 ln abn 不成立.
对于 D,由对数函数性质得不正确,故选 A.
5.若α,β满足-
π
2
<α<β<
π
2
,则 2α-β的取值范围是 ( )
A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<π
C.-
3π
2
<2α-β<
π
2
D.0<2α-β<π
答案:C
解析:∵-
π
2
<α<
π
2
,∴-π<2α<π.
又-
π
2
<β<
π
2
,∴-
π
2
<-β<
π
2
.
∴-
3π
2
<2α-β<
3π
2
.
又α-β<0,α<
π
2
,∴2α-β<
π
2
.
故-
3π
2
<2α-β<
π
2
.
6.若实数 a≠b,则 a2-ab ba-b2(填不等号).
答案:>
解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴a2-ab>ba-b2.
7.已知 2b0.
∴乙更合算.
10.已知函数 f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.
解:因为 f(x)=ax2-c,所以
(
1
)
=
-
,
(
2
)
= 4
-
.
即
-
=
(
1
),
4
-
=
(
2
),
解得
=
1
3
[
(
2
)-
(
1
)],
=
1
3
(
2
)-
4
3
(
1
),
所以 f(3)=9a-c=
8
3
f(2)-
5
3
f(1).
又因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,
所以
5
3
≤-
5
3
f(1)≤
2
3
,-
8
3 ≤
8
3
f(2)≤
4
3
,
所以-1≤
8
3
f(2)-
5
3
f(1)≤20,
即-1≤f(3)≤20.
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