2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6 7页

‎6.1.2　向量的加法 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解向量和的定义．‎ ‎2．掌握向量加法的法则．‎ ‎3．了解多个向量相加．‎ ‎4．理解向量加法的运算律．‎ ‎5．了解和向量模的不等式．‎ ‎1.通过学习和向量定义，培养学生的数学抽象素养．‎ ‎2．通过向量加法的运算，培养学生的直观想象、数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 向量加法的定义及其运算法则 ‎ (1)向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算．‎ ‎(2)向量求和的法则 三角形法则 已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b作出向量，则向量__　__称为a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．‎ 平行四边形法则 已知两个__不共线__向量a，b，作＝a，＝b，以__　__，__　__为邻边作□ABCD，‎ 则对角线上的向量＝__a＋b__.‎ ‎(3)向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：||a|－|b|| __≤__|a＋b|__≤__|a - 7 -‎ ‎|＋|b|．‎ 思考：(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？‎ ‎(2)利用向量求和的三角形法则时，若向量a，b中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？‎ ‎(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？‎ ‎(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？‎ 提示：(1)求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．‎ ‎(2)对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝A． 当两向量共线时，仍可以使用三角形法则求和．‎ ‎(3)不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量．‎ ‎(4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．‎ 知识点 多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为__始点__，最后一个向量的终点为__终点__的向量，就是这些向量的和，如图所示．‎ 知识点 　 ‎ 向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a ‎(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 思考：(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)成立吗？‎ 提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．‎ 关键能力·攻重难 - 7 -‎ 题型探究 题型 向量的加法法则 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：‎ ‎①＋＝____；②＋＝____．‎ ‎(2)下列说法正确的是__①③__．‎ ‎①若|a|＝3, |b|＝2, 则|a＋b|≥1,‎ ‎②若向量a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|，‎ ‎③若|a＋b|＝|a|＋|b|，则向量a，b共线．‎ ‎(3)如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋C．‎ ‎ [解析]　(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：‎ ‎①＋＝＋＝；‎ ‎②＋＝＋＝．‎ ‎(2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确．‎ ‎(3)a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．‎ 解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋C．‎ - 7 -‎ 解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c不共线，如图(2)所示．‎ 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，‎ 以、为邻边作□OADB，‎ 则对角线＝a＋b，再作＝c，‎ 以、为邻边作□OCED．‎ 则＝a＋b＋C．‎ 规律方法：1.向量求和的注意点：‎ ‎(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．‎ ‎(2)两个向量的和向量仍是一个向量．‎ ‎(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．‎ ‎2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，用a、b表示向量、、．‎ ‎[解析]　如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均为平行四边形．‎ 根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋B．故有＝2＝2a＋2B．‎ 在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b，而＝＝a＋b＝，‎ 由三角形法则得：＝＋＝b＋a＋b＝a＋2B．‎ 题型 - 7 -‎ 向量加法的运算律 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　化简或计算：(1)＋＋＝____．‎ ‎(2)＋＋＋＋＝__0__．‎ ‎(3)□ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O．‎ 则①＋＝____；‎ ‎②＋＋＝____；‎ ‎③＋＋＝____；‎ ‎④＋＋＝__0__．‎ ‎[解析]　(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝．‎ ‎(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0．‎ ‎(3)①＋＝，‎ ‎②＋＋＝＋＝，‎ ‎③＋＋＝＋＝，‎ ‎④＋＋＝＋＝0．‎ 规律方法：(1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．‎ ‎(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．‎ 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：‎ - 7 -‎ ‎(1)＋＋；‎ ‎(2)＋＋＋．‎ ‎[解析]　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝．‎ ‎(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．‎ 题型 利用向量加法证明几何问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　在□ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形．‎ ‎[解析]　∵＝＋，＝＋．‎ 又∵＝，＝，∴＝，‎ 即AE，FC平行且相等，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形．‎ 规律方法：用向量证明几何问题的一般步骤：‎ ‎(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．‎ ‎(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AO＝OC，DO＝OB．‎ 求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎[解析]　根据向量加法的三角形法则，有 ＝＋，＝＋，‎ 又∵＝，＝，‎ - 7 -‎ ‎∴＋＝＋．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴AB∥DC，且||＝||．‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H.则＋＝(　C　)‎ A． B． C． D． ‎[错解]　A ‎[辨析]　选错的原因是没有认真根据向量的三角形法则(或平行四边形法则)作出图形．‎ ‎[正解]　以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝．‎ - 7 -‎