重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）13 35页

13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学上（RJ） 学习目标 1. 能利用轴对称解决简单的最短路径问题 . （难点） 2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点） 导入新课 复习引入 1. 如图，连接 A 、 B 两点的所有连线中，哪条最短？ 为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC 最短，因为垂线段最短 3. 在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边 . 4. 如图，如何做点 A 关于直线 l 的对称点？ A l A ′ 讲授新课 牧人饮马问题 一 “两点的所有连线中， 线段最短 ”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 ”等的问题，我们称之为最短路径问题 . 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题” . A B ① ② ③ P l A B C D 如图，牧马人从点 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题： 在直线 l 上求作一点 C , 使 AC + BC 最短问题 . 实际问题 A B l 问题 1 现在假设点 A,B 分别是直线 l 异侧 的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A ，点 B 的距离的和最短？ A l B C 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求 . 连接 AB , 与直线 l 相交于一点 C . 问题 2 如果点 A,B 分别是直线 l 同侧 的两个点，又应该如何解决？ 想一想： 对于问题 2 ，如何将点 B “ 移 ”到 l 的另一侧 B ′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C ，都 保持 CB 与 CB ′ 的长度相等 ？ A B l 利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B ′ . 方法揭晓 作法： （ 1 ） 作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′ ； （ 2 ） 连接 AB ′ ，与直线 l 相交于点 C ． 则点 C 即为所求． A B l B ′ C 问题 3 　你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？ 证明： 如图，在直线 l 上任取一点 C ′ ( 与点 C 不重合 ) ，连接 AC′ ， BC′ ， B′C′ ． 由轴对称的性质知， BC =B′C ， BC′=B′C′ ． ∴ 　 AC +BC = AC +B′C = AB′ ， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′ ． 在 △ AB′C′ 中 ， AB′ ＜ AC′+B′C′ ， ∴　 AC +BC ＜ AC′+BC′ ． 即 　 AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ 练一练： 如图，直线 l 是一条河， P 、 Q 是 两个村庄 . 欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P 、 Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M D 例 1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 典例精析 解析：△ ABC 为等边三角形，点 D 是 BC 边的中点，即点 B 与点 C 关于直线 AD 对称 .∵ 点 F 在 AD 上，故 BF=CF. 即 BF+EF 的最小值可转化为求 CF+EF 的最小值，故连接 CE 即可，线段 CE 的长即为 BF+EF 的最小值 . B 方法总结： 此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解 . 例 2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是 y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 解析：作B点关于 y 轴对称点B′，连接AB′，交 y 轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可． B′ C ′ E A 方法总结： 求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置 . 如图， A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN . 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） ？ B A A B N M 造桥选址问题 二 B A ● ● ? N M N M N M 折 移 如图假定任选位置造桥 MN ，连接 AM 和 BN ，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN ，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 我们能否在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 思维火花 各抒己见 1. 把 A 平移到岸边 . 2. 把 B 平移到岸边 . 3. 把桥平移到和 A 相连 . 4. 把桥平移到和 B 相连 . B A Ｍ Ｎ B A Ｍ Ｎ A' B' 1. 把 A 平移到岸边 . AM + MN + BN 长度改变了 2. 把 B 平移到岸边 . AM + MN + BN 长度改变了 B A Ｍ Ｎ 3. 把桥平移到和 A 相连 . 4. 把桥平移到和 B 相连 . AM + MN + BN 长度有没有改变呢？ 问题解决 B A A 1 M N 如图，平移 A 到 A 1 ，使 AA 1 等于河宽，连接 A 1 B 交河岸于 N 作桥 MN ，此时路径 AM + MN + BN 最短 . 理由 : 另任作桥 M 1 N １ ，连接 AM １ ， BN １ ， A １ N １ . Ｎ １ Ｍ １ 由平移性质可知， AM ＝ A １ N ， AA １ ＝ MN ＝ M １ N １ ， AM １ ＝ A １ N １ . AM+MN+BN 转化为 ＡＡ １ ＋ Ａ １ Ｂ ， 而 ＡＭ １ ＋ Ｍ １ Ｎ １ ＋ ＢＮ １ 转化为 ＡＡ １ ＋ Ａ １ Ｎ １ ＋ ＢＮ １ . 在 △ A １ N １ B 中 ，因为 A 1 N 1 + BN 1 ＞ A 1 B. 因此 ＡＭ １ ＋ Ｍ １ Ｎ １ ＋ ＢＮ １ ＞ AM+MN+BN. A· B M N E C D 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD , BD∥CE, BD=CE , 所以 A 到 B 的路径长为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN , 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC , CD , DB , CE , 则 A 到 B 的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN , 在 △ ACE 中 ，∵ AC+CE ＞ AE , ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN , 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN ， 所以桥的位置建在 MN 处 ， A 到 B 的路径 最短 . 方法归纳 解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择 . 当堂练习 1. 如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（　　） A．P是m上到A、B距离之和最短的 点，Q是m上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的 点，P是m上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等 的点 A 2. 如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP= 10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 A 3. 如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处， A 、 B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD ，且 AC = BD , 若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米 . A C B D 河 1000 4. 如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． x y O B A B' P 5. 如图，荆州古城河在 CC ′ 处直角转弯，河宽相同，从 A 处到 B 处，须经两座桥： DD ′, EE ′ （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD ′E ′EB 的路程最短？ A D D ′ C C′ E E′ B 解：作 AF ⊥ CD , 且 AF = 河宽，作 BG ⊥ CE ， 且 BG = 河宽，连接 GF , 与河岸相交于 E ′, D ′. 作 DD ′, EE ′ 即为桥 . 理由：由作图法可知， AF // DD ′ ， AF=DD ′ ， 则四边形 AFD ′ D 为平行四边形， 于是 AD = FD ′ , 同理， BE = GE ′ ， 由两点之间线段最短可知， GF 最小 . A D ′ C C′ E E′ B F G D 6. （1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． （3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． 拓展提升 A B C D P O A B N O A B M 图① 图 ② 图 ③ 图① 图② 图③ P O A B N O A B M A B C D C' P P' P'' E F M' N' E F 图① 图② 图③ 课堂小结 原理 线段公理和垂线段最短 牧马人饮马问题 解题方法 造桥选址问题 关键是将固定线段“桥”平移 最短路径问题 轴对称知识 + 线段公理 解题方法