2020年吉林省梅河口市第五中学高考第五次模拟考试数学试题(含解析) 20页

2020 年吉林省梅河口市第五中学高考第五次模拟考试数学试题 一、单选题 1．图中的阴影表示的集合中是() A．U B． A C． UC A D． AC U 2．中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生， 科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大 型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业 的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（ ） A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过 50% B．芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的 25% C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多 3．向量    , 4 , 6,3AB x CD    且 AB CD   ，若  = 2,CF y  ，且 //AB CF   ，则CF CD   的数量 积为（ ） A．1 B．0 C．2 D．3 4．已知 a 、 都是锐角，且 1cos 10 a  ， 1cos 5   ，则 a  （ ） A． 4  B． 3 4  C． 4  或 3 4  D． 3  或 2 3  5．复数 z＝ 20162 1 2 i i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若正整数 N 除以正整数m后的余数为n，则记为  modN n m ，例如  10 2 mod4 .下面 程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的 i等于（ ） A．32 B．16 C．8 D．4 7．在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，若向该矩形内随机投一点 P，那么使△ABP 与△ADP 的面积 都小于 4 的概率为（ ） A． 1 36 B． 1 12 C． 1 9 D． 4 9 8．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的左右焦点分别为 1F ， 2F ，实轴长为 6，渐近线方程为 1 3 y x  ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆 2 2: ( 6) 1E x y   上一点，则 2| | | |MN MF 的 最小值为 A．8 B．9 C．10 D．11 9．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以 圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( ) A． B．3 C． 4 D．6 10．已知二次函数 f(x)＝ax2 ＋bx＋c的导函数为 f′(x)，f′(x)>0，对于任意实数 x，有 f(x)≥0， 则     1 0 f f  的最小值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 11．设  f x 的定义在 R上的偶函数，对任意 xR ，都有    4f x f x  ，且当  2,0x  时，   1 1 2 x f x       ，若在区间  2,6 内关于 x的方程      log 2 0 1af x x a    恰有 3个不同 的实数根，则 a的取值范围是（ ） A．  1,2 B．  2, C．  31, 4 D．  3 4,2 12．已知函数 f（x）（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f （x）在（ 4  ， 2  ）上单调递减；③当θ∈[ 2 3  ， 3 4  ]时，有|f（x）| 7 5  ；④当θ∈[ 2 3  ， 3 4  ] 时，有|f'（x）| 14 5  ；其中所有真命题的编号是( ) A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 二、填空题 13．已知某单位有 100 名职工，现要从中抽取 5名职工，将全体职工随机按 1~100 编号,并按编号 顺序平均分成 5 组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第 1组抽出的号码 8 号，则第 3组 被抽出职工的号码为_____; 14．已知复数 1 cos15 (sin15 )z i   和复数 2 cos 45 (sin 45 )z i   ，则 1 2z z  __________. 15．已知 F 为抛物线C： 2 4x y 的焦点，直线 1 1 2 y x  与曲线C相交于 ,A B两点，O为坐标 原点，则 OABS  ________. 三、解答题 16．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 2 3, 2 2 P        在椭圆上， 且椭圆的离心率为 2 2 ． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过 2F 的直线 l与椭圆C交于 A， B两点，求 AOB （O为坐标原点）面积的最大值． 17．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是菱形， 60BAD  ， 2PA PD AD   ， 点M 在线段 PC上，且 2PM MC ， N 为 AD的中点. （1）求证： AD平面 PNB； （2）若平面 PAD 平面 ABCD，求三棱锥 P NBM- 的体积. 18．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人 民群众脱贫奔小康，经过不懈的努力奋斗拼搏，新农村建设取得了巨大进步，农民年收入也逐年增 加．为了实现 2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办随机收集了以下 50位农民的统计数据，以此研 究脱贫攻坚的效果是否与农民的受教育的发展状况有关： 效果明显 效果不明显 总计 受过教育 15 10 25 没受过教育 6 19 25 总计 21 29 50 （1）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“脱贫攻坚的效果与农 民的受教育的发展状况有关”，并说明理由； （2）现用分层抽样的方法在全部受过教育的农民中随机抽取 5位农民作为代表，再从这 5位农民 代表中任选 2位继续调查，求这 2位农民代表中至少有 1位脱贫攻坚效果明显的概率． 参考附表：  2P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式：        2 2 n ad bc K a b a c b d c d       ，其中 n a b c d    ． 19．已知 ( ) | 2 | | 2 1|f x x x    ，M 为不等式 ( ) 0f x  的解集. （1）求M ； （2）求证：当 ,x y M 时， | | 15x y xy   . 20．已知等差数列 na 和等比数列 nb 的各项均为整数，它们的前 n项和分别为 ,n nS T ，且 1 12 2b a  ， 2 3 2 254, 11b S a T   . （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）求 1 1 2 2 3 3n n nM a b a b a b a b     ； （3）是否存在正整数m，使得 1m m m m S T S T   恰好是数列 na 或 nb 中的项？若存在，求出所有满足 条件的m的值；若不存在，说明理由. 21．[选修 4—5：参数方程选讲] 在直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程是 1 1 x t t y t t         （t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程是ρsin 1 3       (1)求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； (2)若两曲线交点为 A、B，求 AB 22．已知函数 ( ) ln , 0f x x ax a   ． （1）若  f x a  对 0x  恒成立，求实数 a的取值集合； （2）在函数 ( )f x 的图象上取定点        1 1 2 2 1 2, , ,A x f x B x f x x x ，记直线 AB的斜率为 k， 证明：存在  0 1 2x x x ， ，使  0k f x 成立； （3）当 *n N 时，证明：   2 2 2 3 1ln 2 ln ln 2 2 4 n n n n                ． 【答案与解析】 1．C 由韦恩图可知：阴影表示的集合为以U 为全集，集合 A的补集，得解. 解：由图可知，阴影表示的集合为以U 为全集，集合 A的补集， 即阴影表示的集合是 UC A， 故选 C. 本题考查了韦恩图及集合的补集，属基础题. 2．C 根据图表信息，整合数据，逐项判断即可得解. 对于选项 A，芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的 55%，故选项 A正确； 对于选项 B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的（37%+13%）×55%=27.5%， 故选项 B正确； 对于选项 C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的 37%×55%＝20.35%，“80后”占 总人数的 40%，但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项 C 错误； 对于选项 D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的 14%×55%＝7.7%、“80前”占总 人数的 5%，故选项 D正确. 故选：C. 本题考查了统计图的应用，考查了数据整合的能力，属于基础题． 3．B 根据向量垂直计算得到 2x   ，根据平行计算得到 4y   ，再计算数量积得到答案.    , 4 , 6,3AB x CD  uuur uuur 且 AB CD uuur uuur ，则 6 12 0, 2AB CD x x       uuur uuur .  2,4AB   uuur ，  = 2,CF y uuur ， //AB CF uuur uuur ，则 2 8, 4y y    ，  = 2, 4CF  uuur .    2, 4 6,3 12 12 0CF CD       uuur uuur . 故选： B . 本题考查了向量的垂直和平行，数量积，意在考查学生的计算能力. 4．B 先求 sin a， sin  ，然后求 cos( )a  的值，根据 ,a  为锐角求出 a  的值． 因为 a 、 都是锐角，且 1cos 10 a  ， 1cos 5   所以 3 2sin = , sin = 10 5 a  1 6 2cos( ) cos cos sin sin 25 2 5 2 a a a          又  0,a    3 4 a     故选 B. 本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题． 5．A 2016i 1 ，所以 2z 1 2i   ，由复数的除法公式化简计算，得出复平面内对应的点所在的象限． 因为 i2016＝(i2)1008＝(－1)1008＝1，所以 z＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以 z 在复平面内对应的点的坐标为 ，它在第一象限． 本题考查了复数的除法公式   2 2 ad bc z ac bdc di a bi a b        （ ） ，以及 z a bi  对于复平面内对应 点的坐标为(a,b)． 6．B 模拟程序的运行，可得 11n  ， 1i  ； 2i  ， 13n  不满足条件 2  3n mod（ ）， 4i  ， 17n  ， 满足条件 2  3n mod（ ），不满足条件 1  5n mod（ ） ， 8i  ， 25n  ， 不满足条件 2  3n mod（ ）， 16i  ， 41n  ， 满足条件 2  3n mod（ ），满足条件 1  5n mod（ ） ，退出循环，输出 i的值为16，故选 B. 点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环次数较多时，应寻找其规律，当循环的次数不多，或 有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题；由已知中的程序框图可知：该程序的功能是 利用循环结构计算并输出变量 i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可 得答案. 7．A 以 AB 为底边，由△ABP 与△ADP 的面积都小于 4，得到两个三角形的高即为 P点到 AB 和 AD 的距离， 得到对应区域，利用面积比求概率． 以 AB 为底边，要使面积都小于 4， 由于 1 2ABPS  AB×h＝4h＜4， 则点 P 到 AB 的距离 h＜1， 同样， 1 2ADPS  AD×d＝3d＜4， ∴P点到 AD 的距离要小于 4 3 ，满足条件的 P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 1 4 4 3 3   ． ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都小于 4 概率为：p 4 13 8 6 36    ． 故选 A． 本题考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．B 求得双曲线的 a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值， 连接 EF1，交双曲线于 M，交圆于 N，计算可得所求最小值． 由题意可得 2a＝6，即 a＝3， 渐近线方程为 y＝± 1 3 x，即有 1 3 b a  ， 即 b＝1，可得双曲线方程为 2 9 x  y2＝1， 焦点为 F1（ 10 ，0），F2，（ 10 ，0）， 由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|， 由圆 E：x2+（y 6 ）2＝1 可得 E（0， 6 ），半径 r＝1， |MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|， 连接 EF1，交双曲线于 M，交圆于 N， 可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1| 6 10   4， 则则|MN|+|MF2|的最小值为 6+4﹣1＝9． 故选：B． 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结 合思想和运算能力，属于中档题． 9．B 由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体． ∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长 3 . ∴此四面体的外接球的表面积为 4π×( 3 2 )2＝3π.故选 B. 请在此填写本题解析! 10．B ∵f（x）≥0，知 2 2 0 4 0 4 a bc b ac a       ． 又 f′（x）=2ax+b， ∴f′（0）=b＞0， f（1）=a+b+c．     1 0 f f  2 2 2 2 24 2 441 1 1 1 2. 4 4 baa c a b a ba b b ab ab            当且仅当 4a2=b2时，“=”成立． 故选 B． 11．D 根据    4f x f x  ，得到函数  y f x 是一个周期函数，且周期为 4，然后将方程    log 2 0af x x   恰有3个不同的实数解，转化为函数  y f x 与函数  log 2ay x  在 区间−2，6上的图象恰有3个不同的交点，利用数形结合法求解. 因为对任意 xR ，都有    4f x f x  ， 所以函数  y f x 是一个周期函数，且周期为 4， 当  2,0x  时，   1 1 2 x f x       ，且函数  y f x 是R上的偶函数， 若在区间  2,6 内关于 x的方程      log 2 0 1af x x a    恰有3个不同的实数根， 则函数  y f x 与函数  log 2ay x  在区间  2,6 上的图象恰有3个不同的交点， 如下图所示： 又    2 2 3f f   ， 所以 log 4 3 log 8 3 a a    ， 解得 3 4 2a  . 因此，实数 a的取值范围是  3 4,2 . 故选：D. 本题主要考查方程的根与函数的零点之间的关系，还考查了转化化归数学和数形结合的思想方法， 属于中档题. 12．D 对①直接进行奇偶性的判断即可，对②③④可用换元法，转化成二次函数的图像与性质进行判断即 可. ①函数的定义域为 R， ∵f（﹣x）=（cosθ+1）cos2（﹣x）+cosθ[cos（﹣x）+1]=（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）=f（x）， ∴f（x）是偶函数，即①正确； ②f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1， 设 t=cosx，则 f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1， ∵2（cosθ+1）0，∴二次函数的开口向上， 函数的对称轴为 t  4 1 cos cos      ，且 t的正负与 cosθ的取值有关， ∴f（x）在（ 4  ， 2  ）上不一定单调递减，即②错误； ③当θ∈[ 2 3  ， 3 4  ]时，cosθ∈[ 2 2  ， 1 2  ]， f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1 设 t=cosx，则 t∈  1,1 ， 则 f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1， ∵2（cosθ+1）0，∴二次函数的开口向上， 函数的对称轴为 t  4 1 cos cos      ， 3 3 7(1) 3cos 1 - +1 2 5 f     ， 1 7( 1) cos 1 2 5 f      ，     2cos cos 1 11 cos 1 +1 4 cos 1 8 cos 1 8 cos 1 f                        ， 当 2cos 2      cos 2 11 7= + 4 cos 1 16 8 5 f          ， 故③错误. ④当θ∈[ 2 3  ， 3 4  ]时，cosθ∈[ 2 2  ， 1 2  ] 有  ( ) = -2 cos 1 sin 2 cos sin = 2(cos 1)sin 2 cos sinf x x x x x          5 144 cos 1 cos cos 3cos 4 2 5 x         ，故④成立. 故选：D. 本题考查函数单调性、奇偶性的判断，也考查了求函数的最值，同时考查了转化思想和计算能力， 属于难题. 13．48 分析：系统抽样的特点为等距离。 详解：依题意，每组人数 100 20 5  若第 1 组抽出的号码 8 号， 则第 2 组抽出的号码：8+20×1=28 号 则第 3 组抽出的号码：8+20×2=48 号 点晴：注意系统抽样的特点为等距离，分层抽样的特点为按比例的特征。 14． 1 3 2 2 i 利用复数的乘法运算法则结合两角和的正弦、余弦公式可计算出 1 2z z 的值，即可求得答案.    1 2 cos15 sin15 cos 45 sin 45z z i i          cos15 cos 45 sin15 sin 45 sin15 cos 45 cos15 sin 45 i              cos 15 45 sin 15 45i       . 1 3cos60 sin 60 2 2 i i     故答案为： 1 3 2 2 i 本题考查复数的乘法运算和两角和的正弦、余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 15． 5 联立直线与抛物线，根据弦长公式以及点到直线的距离可得三角形的面积． 联立 2 4 1 1 2 x y y x       得 2 2 4 0x x   ，设    1 21 2A ,, B ,y x yx ，则 1 2 1 22, 4x x x x    ， 则||AB|＝  22 1 2 1 2 11 4 1 4 16 5 4 k x x x x        ， 点 O到直线 1 1 2 y x  的距离 AB 1 2 2 5 1 1 2 5d , S | AB | d 5 5 5 2 2 51 51 4 O           ． 故答案为： 5 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角 形的面积公式，属于中档题． 16．（Ⅰ） 2 2 1 2 x y  （Ⅱ） 2 2 （Ⅰ）根据椭圆的离心率、点 P在椭圆上以及 2 2 2a b c  列方程组解得 2 22, 1a b  即可得到椭 圆C的标准方程； （Ⅱ）设直线 l的方程为 1x my  ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、三角形的面积公式以 及基本不等式可得结果. （Ⅰ）由题意可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) ( ) 2 2 1 c a a b a b c              ，解得 2 2a  ， 2 1b  ， 2 1c  ， ∴椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y  ． （Ⅱ）由已知，直线 l的斜率为零时，不合题意， 由（I）知 2 (1,0)F ，设直线 l的方程为 1x my  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立 2 2 1 2 2 x my x y      ，消去 x化简整理得  2 22 2 1 0m y my    ， 由根与系数的关系得 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 my y m y y m           ， 所以   2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 14 4 2 2 2 2 2AOB mS OF y y y y y y m m                         2 22 2 2 2 1 1 22 2 1 21 2 1 1 1 2 1 m m m m m               ， 当且仅当 2 2 11 1 m m    ，即 0m  时，等号成立， ∴ AOB 面积的最大值为 2 2 ． 本题考查了椭圆的几何性质，考查了韦达定理、三角形的面积公式、基本不等式，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2） 2 3 （1）由已知可得 ,ABD PAD△ △ 为等边三角形，从而有 PN AD^ ，BN AD ，即可证明结论； （2）由（1）可得 BC⊥平面 PNB， 2 3P NBM M PNB C PNBV V V    ，由平面 PAD 平面 ABCD， 可得 PN ^平面 ABCD，从而有 PN NB^ ，求出 PNBS△ 即可. （1）∵ PA PD ， N 为 AD的中点，∴PN AD^ ， 又∵底面 ABCD是菱形， 60BAD  ，∴ ABD△ 为等边三角形， ∴ BN AD ，又∵PN BN NÇ = ，∴ AD平面 PNB， （2）∵ 2PA PD AD   ，∴ 3PN NB= = ， 又∵平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD ， PN AD^ ， PN 平面 ABCD，∴ PN NB^ ， ∴ 1 33 3 2 2PNBS△ = = ， ∵ AD平面 PNB， AD BC∥ ，∴ BC⊥平面 PNB，又 2PM MC ， ∴ 2 2 1 3 22 3 3 3 2 3P NBM M PNB C PNBV V V         . 本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直、求椎体的体积，注意空间垂直关系的相互转 化，考查逻辑推理能力，属于中档题. 18．（1）有99%的把握认为“脱贫攻坚效果与农民的受教育的发展状况有关”；（2） 9 10 （1）根据列联表计算 2K ，与附表数据6.635比较即得结论； （2）先分层抽样确定 5位农民代表中有3位农民效果明显， 2位农民效果不明显，再用列举法， 计算从 5位代表中任选 2位，至少有 1位脱贫攻坚效果明显的概率即可. 解：（1）根据题中列联表得：  22 50 15 19 10 6 1350 6.650 21 29 25 25 203 K           由于6.650 6.635 ， 故有99%的把握认为“脱贫攻坚的效果与农民的受教育的发展状况有关”； （2）受教育的农民中，效果明显与效果不明显的比例为15:10 3: 2 ， 所以用分层抽样的方法抽取的 5位农民代表中，3位效果明显， 2位效果不明显. 设这 5位农民代表为 , , , ,A B C d e，其中 , ,A B C效果明显， ,d e效果不明显，从中任选 2位调查， 结果为： ,A B ， ,A C ， ,A d ， ,A e ， ,B C ， ,B d ， ,B e ， ,C d ， ,C e ， ,d e ， 共10种情况，其中  ,A B ， ,A C ， ,A d ， ,A e ， ,B C ， ,B d ， ,B e ， ,C d ， ,C e 满足至少有 1位脱贫攻坚效果明显，共9种情况， 所以从 5位代表中任选 2位，至少有 1位脱贫攻坚效果明显的概率 9 10 P  . 本题考查了独立性检验、分层抽样和古典概型的概率计算问题，属于中档题. 19．（1） 1( ,3) 3 M   （2）见解析 试题分析：（1）通过讨论 x的范围，解关于 x的不等式，求出M的范围即可； （2）根据绝对值的性质证明即可． 试题解析：（1）解：   3, 2 13 1, 2 2 13, 2 x x f x x x x x                 当 2x   时，由 3 0x  得 3x  ，舍去； 当 12 2 x   时，由3 1 0x   得 1 3 x   ，即 1 1 3 2 x   ； 当 1 2 x  时，由 3 0x   得 3x  ，即 1 3 2 x  ； 综上， 1 ,3 3 M       . （2）证明：∵ ,x y M ，∴ 3x  ， 3y  ， x y xy x y xy x y xy         3 3 3 3 15x y x y         20．（1） 12 1, 2 3nn na n b     ；（2） 2( 1) 3 2n nM n    ；（3）存在，1. （1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算； （3） 2 1 *1 2 1 3 1 3 m m m m m m S T m N S T m          ，令 2 1 * 2 1 3 , 1 3 m m m L L N m       可得  2( 1) 1 (3 )3mL m L    ， 1 3L „ ，讨论即可. （1）设数列 na 的公差为 d ，数列 nb 的公比为q， 因为 1 1 2 3 2 22 2, 54, 11b a b S a T     ， 所以 2 (3 3 ) 54 1 2 2 11 q d d q        ，即 (1 ) 9 2 8 q d d q      ，解得 3 2 q d    ，或 3 2 5 q d      （舍去）. 所以 12 1, 2 3nn na n b     . （2）  2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 5 2 3 2 1 2 3 nn n nM a b a b a b a b n                      ， 2 13 1 2 3 3 2 3 (2 3) 2 3 (2 1) 2 3n n nM n n               ， 所以  2 12 2 4 3 3 3 (2 1) 2 3n n nM n          ， 13(1 3 )2 4 (4 2) 3 4 (4 4) 3 1 3 n n nn n              所以 2( 1) 3 2n nM n    . （3）由（1）可得 2 nS n ， 3 1 nnT ， 所以 2 1 1 2 1 3 1 3 m m m m m m S T m S T m         . 因为 1m m m m S T S T   是数列 na 或 nb 中的一项，所以 2 1 * 2 1 3 , 1 3 m m m L L N m       ， 所以  2( 1) 1 (3 )3mL m L    ，因为 2 1 0,3 0mm  … ， 所以1 3L „ ，又 *L N ，则 2L  或 3L  . 当 2L  时，有  2 1 3mm   ，即  2 1 1 3m m   ，令 2 1( ) 3m mf m   . 则 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 2 2 3( 1) ( ) 3 3 3m m m m m m mf m f m              . 当 1m  时， (1) (2)f f ；当 2m  时，    1 0f m f m   ， 即 (1) (2) (3) (4)f f f f       . 由 1(1) 0, (2) 3 f f  ，知  2 1 1 3m m   无整数解. 当 3L  时,有 2 1 0m   ，即存在 1m  使得 2 1 2 1 3 3 1 3 m m m m      是数列 na 中的第 2项， 故存在正整数 1m  ，使得 1m m m m S T S T   是数列 na 中的项. 本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前 n项和，数列中 的存在性问题，是一道较为综合的题. 21．（1） 1C 的普通方程是: 2 2 1 4 4 y x   ,曲线 2C 的直角坐标方程是： 3 1 1 0 2 2 x y   （2）4 3 （1）将 C1的参数方程两边平分再相减消去参数 t得到普通方程，将 C2的极坐标方程展开，根据极 坐标与直角坐标的对应关系得出 C2的直角坐标方程； （2）求出 C2的参数方程，代入 C1的普通方程，根据参数的几何意义得出交点间的距离． （1）曲线 1C 的普通方程是: 2 2 1 4 4 y x   曲线 2C 的直角坐标方程是： 3 1 1 0 2 2 x y   (2)因为是过点  3 1， 的直线 所以 2C 的的参数方程为： 3 2 31 2 tx ty         （t为参数） 代入 1C 的的普通方程 2 2 1 4 4 y x   ，得 2 12t  解得 t 2 3  ，故 4 3AB  本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义及应用，属中档题． 22．（1） 1 ；（2）证明见解析；（3）证明见解析. （1）  f x a  对 0x  恒成立，转化为  maxf x a  ，利用求导数方法求出  f x 极值，进 而求出最值，即可求解； （2）设   1 2( ) ,g x f x k x x x    ，通过构造函数证明 1 2( ), ( )g x g x 异号，根据零点存在性定理， 即可得证； （3）构造函数 ( ) ln 1h x x x x   ，证明 ( ) ln 1 0h x x x x    在 (1, ) 恒成立， 1ln 1x x   ， 令 2 2 1 1 1 1 1 11, ln , (ln ) 1 ( 1) ( 2)( 1) n n nx n n n n n n n             1 1 1 2n n     ，然后相加， 即可求证结论. （1） 1 1( ) ln , ( ) axf x x ax f x a x x      ， 令 1( ) 0,f x x a    ，当 1( ) 0,0f x x a     ， 当 1 1( ) 0, ,f x x x a a     时， ( )f x 取得极大值， 亦为最大值， max 1( ) ln 1 ln 1f x a a a        ， ln 1 0a a   ，设 1 1( ) ln 1, ( ) 1 aa a a a a a         ， 令 ( ) 0, 1, ( ) 0,0 1; ( ) 0,0, 1a a a a a a           . min( ) (1) 0, ( ) 0a a       ，又 ( ) ln 1 0a a a     ， ( ) ln 1 0, 1a a a a      ； （2）   1 2 1 2 1 2 ln 1( ) , x xg x f x k x x x x x x        ， 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 ln 1 1( ) (1 ln ) x x x xg x x x x x x x x        ， 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ln 1 1( ) (1 ln ) x x x xg x x x x x x x x         ， 令 1 1( ) 1 ln , ( ) 1 tu t t t u t t t        ， ( ) 0,0 1, ( ) 0, 1u t t u t t      ， 当 1, ( ) 0, 1 ln 0t u t t t      ， 2 2 1 2 1 1 1 1 ln 0, 0, ( ) 0x x x x g x x x         ， 同理 2( ) 0g x  ，函数 1 2( ), ( , )g x x x x 连续不断， 故存在 0 1 2( , )x x x ，使得 0( ) 0g x  ， 即存在  0 1 2x x x ， ，使  0k f x 成立； （3）设 ( ) ln 1, ( ) ln ,h x x x x h x x    ， 当 ( ) 0h x  时， 1, ( )x h x  在 (1, ) 递增， 11, ( ) 0, ln 1x h x x x       ，令 1 1nx n    2 2 1 1 1 1 1ln , (ln ) 1 ( 1) ( 2)( 1) n n n n n n n n          ， 2 2 23 1 1 1ln 2 ln ln . 2 2 2 2 4 n n n n n           L 本题考查导数的综合应用，涉及不等式恒成立最值问题、函数零点、数列不等式的证明，解题的关 键是构造函数，导数性质的合理运用，属于难题.