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- 2023-11-04 发布
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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．（0,2），2 B．（2,0），2 C．（-2,0），4 D．（2,0），4
【答案】B
【解析】
试题分析：圆变形为，所以圆心为，半径为2
考点：圆的方程
2.过点、点且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设圆的方程为
考点：圆的方程
3.下列四个命题中错误的个数是（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行.
A．1 B．2 C．3 D． 4
【答案】B
【解析】
试题分析：①中垂直于同一条直线的两条直线相互平行或相交或异面；②正确；③正确；④中垂直于同一个平面的两个平面相互平行或相交
考点：空间线面的位置关系
4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥侧面积是（ ）
A． B． C. D．8
【答案】A
【解析】
试题分析：一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，
所以：该四棱锥为为正四棱锥．
其正（主）视图如图所示，
则：下底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，
四棱锥的侧面的高为：，
则：四棱锥的侧面积：
考点：三视图及几何体表面积
5.设，则“”是“，且”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：由，且可得到，反之不成立，所以“”是“，且”的必要而不充分条件
考点：充分条件与必要条件
6.已知下列三个命题：
①棱长为2的正方体外接球的体积为；
②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；
③直线被圆截得的弦长为.
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C. ①③ D．①②③
【答案】C
【解析】
试题分析：：①设正方体的外接球的半径为r，则2r=2，r=，则球的体积为πr3= π×3=，故①正确；
②设一组数据为，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据（c≠0），运用公式即可得，其平均数为a+c，方差为b，故②错；
③圆（x-1）2+y2=4的圆心为（1，0），半径为2，直线x-y+1=0到圆的距离为，则直线被圆截得的弦长为，故③正确
考点：命题的真假判断与应用
7.圆上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个
【答案】C
【解析】
试题分析：圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，结合图形可知距离为的点共有3个
考点：圆和直线的位置关系
8.无穷等比数列中，“”是“数列为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B.充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：由数列为递减数列可知，反之不成立，所以“”是“数列为递减数列”的必要而不充分条件
考点：充分条件与必要条件
9.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它
扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：
所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：16π
考点：球的体积和表面积
10.已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据反射定律，圆心C（2，-1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，
再由点P（-1，-3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程
11.已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为原心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：：∵圆C的方程为，整理得：，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：与直线y=kx+2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，
则，即，
∴≤k≤0．
∴k的最小值是．
考点：直线与圆的位置关系
12.如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A. B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，
由于鸡蛋的表面积为4π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为
，
而垂直折起的4个小直角三角形的高为，
故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
考点：点、线、面间的距离计算
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是
【答案】
【解析】
考点：直线的点斜式方程
14.已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，若使最小则直线的方程是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：圆C的方程为x2+y2-2y-3=0，即 x2+（y-1）2=4，表示圆心在C（0，1），半径等于2的圆．
点P（-1，2）到圆心的距离等于，小于半径，故点P（-1，2）在圆内．
∴当AB⊥CP时，|AB|最小，
此时，kCP =-1，kl =1，用点斜式写直线l的方程y-2=x+1，
即x-y+3=0
考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程
15.如果实数满足等式，那么的最大值是
【答案】
【解析】
试题分析：设 代入得
由得，的最大值是
考点：直线和圆的位置关系
16.方程有两个不等实根，则的取值范围是
【答案】
【解析】
试题分析：作函数与直线y=k（x-2）+3的图象如下，
函数的图象是半圆，直线y=k（x-2）+3的图象恒过点（2，3）；
结合图象可知，
当过点（-2，0）时，，
当直线y=k（x-2）+3与半圆相切时，
，
解得，k=，
故k的取值范围是
考点：根的存在性及根的个数判断
三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）求经过点的直线，且使到它的距离相等的直线方程.
【答案】或
【解析】
试题分析：由题意可知所求直线与已知直线平行或过线段AB的中点，分情况求解直线方程
试题解析：显然符合条件: 当在所求直线同侧时,, 或.
考点：直线方程
18.已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】0＜m≤3
【解析】
试题分析：由已知中命题p：，我们易求出x的取值范围，又同命题q：1-m≤x≤1+m，m＞0，若命题p是命题q的必要不充分条件，我们根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，我们易得一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围
试题解析：∵命题p：
∴p：x∈，
又∵q：x∈，m＞0，
∵命题p是命题q的必要不充分条件，
∴⊋．
∴
∴0＜m≤3
考点：必要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
19.已知，设命题函数为减函数，命题当时，函数恒成立．如果或为真命题，且为假命题，求的取值范围．
【答案】
【解析】
考点：命题的真假判断与应用
20.若是不全相等的正数，求证：．
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：不等式的证明可采用分析法和综合法，本题中证明时不等式性质和不等式的加法性质证明不等式
试题解析：∵，
∴，
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴成立．
上式两边同时取常用对数，
得，
∴．
考点：不等式证明
21.设数列的前项和为，并且满足． 猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】
【解析】
试题分析：分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求；猜想：，由可知，当n≥2时，，所以，再用数学归纳法进行证明；
试题解析：（1）解：分别令，得，
∵，∴，猜想：，由①
可知，当时②
①-②得，即
当时
∵，∴，
（ii）假设当时，，那么当时，,∵，
∴，∴，即当时也成立．
∴，显然时，也成立，故对于一切，均有．
考点：数列通项公式及数学归纳法证明