高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（山东卷 21页

绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修 II） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（共 60 分） 注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其 他答案标号，不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要 求的选项. （1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合 A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合 A⊙B 的所有元素之和为 （A）0 （B）6 （C）12 （D）18 （2）函数 y=1+ax(02 的解集为 (A)（1，2）  （3，+∞） (B)（ 10 ，+∞） (C)（1，2）  （ 10 ，+∞） (D)（1，2） （4）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= 3  ,a= 3 ,b=1，则 c= (A) 1 （B）2 （C） 3 —1 （D） 3 （5）设向量 a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d 的有向线段首尾相连能构成四边 形，则向量 d 为 (A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) (6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 （7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 (A) 2 (B) 2 2 (C) 2 1 (D) 4 2 （8）设 p：x 2 －x－20>0,q： 2 1 2   x x <0,则 p 是 q 的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知集合 A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐 标，则确定的不同点的个数为 (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 （10）已知 n x x        12 的展开式中第三项与第五项的系数之比为－ 14 3 ,其中 i 4 =－1，则展开式中常数项是 (A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45 （11）某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件       .112 ,932 ,22115 x yx yx 则 z=10x+10y 的最大值 是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 （12）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 P－DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A) 27 34  (B) 2 6 (C) 8 6 (D) 24 6 （12 题图） 绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修 II） 注意事项： 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 得分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上. （13）若   a nannn 则常数,1 )( 1lim . （14）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22 的最小值 是 . （15）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的 中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所 成角的正弦值为 . （15 题图） （16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. ①将函数 y= 1x 的图象按向量 y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y= x ②圆 x2+y2+4x-2y+1=0 与直线 y= x2 1 相交，所得弦长为 2 ③若 sin( +  )= 2 1 ,则 sin( +  )= 3 1 ,则 tan cot  =5 ④如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1，P 为底面 ABCD 内一动点，P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的 距离相等，则 P 点的轨迹是抛物线的一部分. （16 题图） 得分 评卷人 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）已知 f(x)=Asin(  x )(A>0, >0,0< < 2  函数，且 y=f(x)的最大值为 2，其图象相邻两对称轴的距离 为 2，并过点（1，2）. （1）求 ; （2）计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008). 得分 评卷人 （18）（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中 a  -1，求 f(x)的单调区间。 得分 评卷人 （19）（本小题满分 12 分） 如图 ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥 V-A1B1C1 的底面 ABC，等边∆ AB1C 所在的平面与底面 ABC 垂直， 且  ABC=90°，设 AC=2a,BC=a. （1）求证直线 B1C1 是异面直线与 A1C1 的公垂线； （2）求点 A 到平面 VBC 的距离； （3）求二面角 A-VB-C 的大小. （19 题图） 得分 评卷人 (20) （本小题满分 12 分） 袋中装着标有数学 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分， 每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求： （1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 的概率分布和数学期望； (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率. 得分 评卷人 （21）（本小题满分 12 分） 双曲线 C 与椭圆 148 22  yx 有相同的热点，直线 y= x3 为 C 的一条渐近线. （1） 求双曲线 C 的方程； （2） 过点 P(0,4)的直线 l，求双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合）.当 PQ = 1 QBQA 2 ，且 3 8 21   时，求 Q 点的坐标. 得分 评卷人 （22）（本小题满分 14 分） 已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求 Tn 及数列｛an｝的通项； （3） 记 bn= 2 11  nn aa ，求｛bn｝数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ 13 2 nT =1. 参考答案 （1）—（12）DACBD BBAAD CC (13) 2 (14) 32 (15) 4 5 (16)○3 ○4 （1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合 A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合 A⊙B 的所有元素之和为（ D ） （A）0 （B）6 （C）12 （D）18 解：当 x＝0 时，z＝0，当 x＝1，y＝2 时，z＝6，当 x＝1，y＝3 时，z＝12，故所有元素之和为 18，选 D （2）函数 y=1+ax(02 的解集为（ C ） (A)（1，2）  （3，+∞） (B)（ 10 ，+∞） (C)（1，2）  （ 10 ，+∞） (D)（1，2） 解：令 12 xe  2（x2），解得 1x2。令 2 3log ( 1)x  2（x2）解得 x（ 10 ，+∞） 选 C （4）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= 3  ,a= 3 ,b=1，则 c=（ B ） (B) 1 （B）2 （C） 3 —1 （D） 3 解：由正弦定理可得 sinB＝ 1 2 ，又 ab，所以 AB，故 B＝30，所以 C＝90，故 c＝2，选 B （5）设向量 a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d 的有向线段首尾相连能构成四 边形，则向量 d 为（ D ） (A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) 解：设 d＝（x，y），因为 4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有 4a ＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得 x＝－2，y＝－6，选 D (6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ B ） (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）＝0，又 f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数 f（x）的周期为 4，所以 f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选 C （7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 （ B ） (A) 2 (B) 2 2 (C) 2 1 (D) 4 2 解：不妨设椭圆方程为 2 2 2 2 1x y a b   （ab0），则有 2 22 2 1b a ca c   且 ，据此求出 e＝ 2 2 ，选 B （8）设 p：x 2 －x－20>0,q： 2 1 2   x x <0,则 p 是 q 的（ A ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 解：p：x 2 －x－20>0x5 或 x－4，q： 2 1 2   x x <0x－2 或－1x1 或 x2，借助图形知选 A （9）已知集合 A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐 标，则确定的不同点的个数为（ A ） (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为 1 1 3 2 3 3C C A ＝36，但集合 B、C 中有相同元素 1，由 5，1，1 三个数 确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为 36－3＝33 个，选 A （10）已知 2 nix x     的展开式中第三项与第五项的系数之比为－ 14 3 ,其中 2i =－1，则展开式中常数项是 （ A ） (A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45 解：第三项的系数为－ 2 nC ，第五项的系数为 4 nC ，由第三项与第五项的系数之比为－ 14 3 可得 n＝10， 则 2 10 1 10 ( ) ( )r r r r iT C x x     ＝ 40 5 2 10( ) r r ri C x   ，令 40－5r＝0，解得 r＝8，故所求的常数项为 8 8 10( )i C ＝45， 选 A （11）某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件       .112 ,932 ,22115 x yx yx 则 z=10x+10y 的最大值 是（C ） (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解：画出可行域： 易得 A（5.5，4.5）且当直线 z＝10x＋10y 过 A 点时， z 取得最大值，此时 z＝90，选 C （12）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 P－DCE 三棱锥的外接球的体积为（ C ） (A) 27 34  (B) 2 6 (C) 8 6 (D) 24 6 （12 题图） 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为 1，故外接球半径为 6 4 ，外接球的体积为 34 6 6( )3 4 8   ， 选 C 绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修 II） 注意事项： 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 得分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上. （13）若 1lim 1, ( )n a n n a n     则常数 2 . 解： （14）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则 2 2 1 2y y 的最小值是 32 . P ED C O 1 1lim lim lim( 1 1) ( ) 1 2 1 2 n n n n a n a a nn n a n a n aa                解：显然 1 2,x x 0，又 2 2 1 2y y ＝4（ 1 2x x ）8 1 2x x ，当且仅当 1 2 4x x  时取等号，所以所求的值为 32。 （15）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的 中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所 成角的正弦值为 . （15 题图） 解：易证 B1平面 AC1，过 A 点作 AGCD，则 AG平面 B1DC，于是ADG 即ADC 为直线 AD 与平面 B1DC 所成角，由平面几何知识可求得它的正弦值 为 4 5 。 （16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. ①将函数 y= 1x 的图象按向量 y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y= x ②圆 x2+y2+4x-2y+1=0 与直线 y= x2 1 相交，所得弦长为 2 ③若 sin( +  )= 2 1 ，sin( －  )= 3 1 ,则 tan cot  =5 ④如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1，P 为底面 ABCD 内一动点，P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的 距离相等，则 P 点的轨迹是抛物线的一部分. 解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为 y＝|x－2| ②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线 y= x2 1 的距离为 4 5 5 半径 2，故圆与直线相离， ③正确，sin( +  )= 2 1 ＝sin cos  ＋cos sin  sin( －  )＝sin cos  －cos sin  ＝ 3 1 两式相加，得 2 sin cos  ＝ 5 6 ， 两式相减，得 2 cos sin  ＝ 1 6 ，故将上两式相除，即得 tan cot  =5 ④正确，点 P 到平面 AD1 的距离就是点 P 到直线 AD 的距离， 点 P 到直线 CC1 就是点 P 到点 C 的距离，由抛物线的定义 可知点 P 的轨迹是抛物线。 （16 题图） A1 B1 C1 D A C B G 三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) sin ( )( 0, 0,0 )2f x A x A          ，且 ( )y f x 的最大值为 2，其图象相邻两对称 轴间的距离为 2，并过点（1,2）. （I）求 （II）计算 (1) (2) (2008)f f f   . 解：（I） 2sin ( ) cos(2 2 ).2 2 A Ay A x x        ( )y f x 的最大值为 2， 0A  . 2, 2.2 2 A A A    又其图象相邻两对称轴间的距离为 2， 0  ， 1 2( ) 2, .2 2 4     2 2( ) cos( 2 ) 1 cos( 2 )2 2 2 2f x x x         . ( )y f x 过 (1,2) 点， cos( 2 ) 1.2      2 2 , ,2 k k Z        2 2 , ,2k k Z     , ,4k k Z     又 0 ,2   4   . （II）解法一： 4   ， 1 cos( ) 1 sin .2 2 2y x x        (1) (2) (3) (4) 2 1 0 1 4f f f f         . 又 ( )y f x 的周期为 4， 2008 4 502  ， (1) (2) (2008) 4 502 2008.f f f      A B C A1 V B1 C1 解法二： 2( ) 2sin ( )4f x x   2 2 3(1) (3) 2sin ( ) 2sin ( ) 2,4 4f f          2 2(2) (4) 2sin ( ) 2sin ( ) 2,2f f          (1) (2) (3) (4) 4.f f f f     又 ( )y f x 的周期为 4， 2008 4 502  ， (1) (2) (2008) 4 502 2008.f f f      18．（本小题满分 12 分）设函数 ( ) ( 1)ln( 1)f x ax a x    ，其中 1a   ，求 ( )f x 的单调区间. 解：由已知得函数 ( )f x 的定义域为 ( 1, )  ，且 ' 1( ) ( 1),1 axf x ax    （1）当 1 0a   时， ' ( ) 0,f x  函数 ( )f x 在 ( 1, )  上单调递减， （2）当 0a  时，由 ' ( ) 0,f x  解得 1 .x a  ' ( )f x 、 ( )f x 随 x 的变化情况如下表 x 1( 1, )a  1 a 1( , )a  ' ( )f x — 0 + ( )f x  极小值  从上表可知 当 1( 1, )x a   时， ' ( ) 0,f x  函数 ( )f x 在 1( 1, )a  上单调递减. 当 1( , )x a   时， ' ( ) 0,f x  函数 ( )f x 在 1( , )a  上单调递增. 综上所述： 当 1 0a   时，函数 ( )f x 在 ( 1, )  上单调递减. 当 0a  时，函数 ( )f x 在 1( 1, )a  上单调递减，函数 ( )f x 在 1( , )a  上单调递增. 19．（本小题满分 12 分） 如图，已知平面 1 1 1A B C 平行于三棱锥V ABC 的底面 ABC， 等 边 △ 1AB C 所在的平面与底面 ABC 垂直，且∠ACB=90°，设 2 ,AC a BC a  （1）求证直线 1 1B C 是异面直线 1AB 与 1 1A C 的公垂线； （2）求点 A 到平面 VBC 的距离； （3）求二面角 A VB C  的大小。 解法 1： （Ⅰ）证明：∵平面 1 1 1A B C ∥平面 ABC ， 1 1 1 1// , //B C BC AC AC BC AC 1 1 1 1B C AC  又∵平面 1AB C ⊥平面 ABC ，平面 1AB C ∩平面 ABC AC ， ∴ BC ⊥平面 1AB C ， 1BC AB  1 1 1B C AB  ， 又 1 1 1 1 1AC B C C  ， 1 1 1 1B C AB B  . 1 1B C 为 1AB 与 1 1AC 的公垂线. （Ⅱ）解法 1：过 A 作 1AD B C 于 D， ∵△ 1AB C 为正三角形， ∴D 为 1B C 的中点. ∵BC⊥平面 1AB C ∴ BC AD ， 又 1B C BC C  ， ∴AD⊥平面VBC ， ∴线段 AD 的长即为点 A 到平面VBC 的距离. 在正△ 1AB C 中， 3 3 2 32 2AD AC a a     . ∴点 A 到平面VBC 的距离为 3a . 解法 2：取 AC 中点 O 连结 1B O ，则 1B O ⊥平面 ABC ，且 1B O = 3a . 由（Ⅰ）知 1BC B C ，设 A 到平面VBC 的距离为 x， 1 1B ABC A BB CV V   ， 即 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2BC AC B O BC B C x       ，解得 3x a . 即 A 到平面VBC 的距离为 3a . 则 1 1|| | cos , |d AB AB n     1 1 1 || | cos | | | | | AB nAB AB n        2 3 3 .2 a a  所以， A 到平面VBC 的距离为 3a . (III)过 D 点作 DH VB 于 H ，连 AH ，由三重线定理知 AH VB AHD 是二面角 A VB C  的平面角。 在 Rt AHD 中， 1 1 1 1 3 .B DDHAD a B DH B BC BC B B       1 1 5 .5 B D BCDH aB B    tan 15ADAHD DH     。 arctan 15AHD  。 所以，二面角 A VB C  的大小为 arctan 15 . 解法二： 取 AC 中点O 连 1B O ,易知 1OB  底面 ABC ，过 O 作直线 //OE BC 交 AB E于 。 取O 为空间直角坐标系的原点， 1, ,OE OC OB 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系。则 1(0, ,0), ( , ,0), (0, ,0), (0,0, 3 )A a B a a C a B a 。 （I） ( ,0,0)BC a   ， 1 (0, , 3 )AB a a ， 1 ( ,0,0) (0, , 3 ) 0BC AB a a a       ， 1BC AB   。 1BC AB  又 1 1 1 1 1// ,B C BC B C AB 由已知 1 1, //BC AC AC AC 。 1 1BC AC  ， 而 1 1 1 1 1 1// ,BC B C B C AC  。 又 1 1 1,B C AB与 1 1AC 显然相交， 1 1B C 是 1 1 1AB AC与 的公垂线。 （II）设平面VBC 的一个法向量 ( , , )n x y z ， 又 1 (0, , 3 )CB a a  由 1 ( , , ) ( ,0,0) 0 ( , , ) (0, , 3 ) 0 x y z an BC x y z a an CB              取 1z  得 (0, 3,1),n  点 A 到平面VBC 的距离，即 1AB  在平面VBC 的法向量 n 上的投影的绝对值。 1 (0, , 3 )AB a a  ，设所求距离为 d 。 则 1 1cosd AB AB n      1 1 1 AB nAB AB n      2 3 32 a 所以，A 到平面 VBC 的距离为 3a . （III）设平面VAB 的一个法向量 1 1 1( , , ),m x y z 1m AB  1 0m AB  1 13 0ay az  由   m AB  0m AB  1 12 0ax ay  取 1 1z  (2 3, 3,1),m   1cos , .| | | | 4 m nm n m n      二面角 A VB C  为锐角， 所以，二面角 A VB C  的大小为 1arccos .4 20．（本小题满分 12 分） 袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分， 每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的 3 个小球上的最大数字，求： （1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于 20 分到 40 分之间的概率。 解：（I）解法一：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A ， 则 3 1 1 1 5 2 2 2 3 10 2( ) 3 C C C CP A C     解法二：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A”，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同” 的事件记为 B ，则事件 A 和事件 B 是互斥事件，因为 1 2 1 5 2 8 3 10 1( ) 3 C C CP B C    所以 1 2( ) 1 ( ) 1 3 3P A P B     . （II）由题意 有可能的取值为：2，3，4，5. 2 1 1 2 2 2 2 2 3 10 1( 2) ;30 C C C CP C       2 1 1 2 4 2 4 2 3 10 2( 3) ;15 C C C CP C       2 1 1 2 6 2 6 2 3 10 3( 4) ;10 C C C CP C       2 1 1 2 8 2 8 2 3 10 8( 5) ;15 C C C CP C       所以随机变量 的概率分布为  2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15 因此 的数学期望为 1 2 3 8 132 3 4 530 15 10 15 3E          （Ⅲ）“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为C ，则 2 3 13( ) (" 3" " 4") (" 3") (" 4") 15 10 30P C P P P            或 21．（本小题满分 12 分） 双曲线 C 与椭圆 2 2 18 4 x y  有相同的焦点，直线 3y x 为 C 的一条渐近线。 （1）求双曲线 C 的方程； （2）过点 (0,4)P 的直线 l ，交双曲线 C 于 A、B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合），当 1 2PQ QA QB     ，且 1 2 8 3     时，求Q 点的坐标。 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 2 2 2 2 1x y a b   由椭圆 2 2 18 4 x y  求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ， 对于双曲线 : 2C c  ，又 3y x 为双曲线 C 的一条渐近线  3b a  解得 2 21, 3a b  ， 双曲线C 的方程为 2 2 13 yx   （Ⅱ）解法一： 由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零。 设l 的方程： 1 14, ( , )y kx A x y  ， 2 2( , )B x y 则 4( ,0)Q k  1PQ QA   1 1 1 4 4( , 4) ( , )x yk k      1 11 1 1 1 1 1 4 4 4 4( ) 44 x k kxk k y y                     1 1)( ,A x y 在双曲线 C 上，  21 2 1 1 116 16( ) 1 0k         2 2 2 2 1 1 1616 32 16 0.3 k k        2 2 2 1 1 16(16 ) 32 16 0.3k k      同理有： 2 2 2 2 2 16(16 ) 32 16 0.3k k      若 216 0,k  则直线l 过顶点，不合题意. 216 0,k   1 2,  是二次方程 2 2 216(16 ) 32 16 0.3k x x k     的两根. 1 2 2 32 8 16 3k       2 4k  ， 此时 0, 2k     . 所求Q 的坐标为 ( 2,0) . 解法二： 由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零 设l 的方程， 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y  ，则 4( ,0)Q k  . 1PQ QA   ， Q 分 PA  的比为 1 . 由定比分点坐标公式得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 4 4 (1 )1 4 40 1 x xk k y y                    下同解法一 解法三： 由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零 设l 的方程： 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y  ，则 4( ,0)Q k  . 1 2PQ QA QB      ， 1 1 1 2 2 2 4 4 4( , 4) ( , ) ( , )x y x yk k k         . 1 1 2 24 y y    ， 1 1 4 y    ， 2 2 4 y    ， 又 1 2 8 3     ， 1 2 1 1 2 3y y    即 1 2 1 23( ) 2y y y y  将 4y kx  代入 2 2 13 yx   得 2 2 2(3 ) 24 48 3 0k y y k     23 0k  ，否则l 与渐近线平行。 2 1 2 1 22 2 24 48 3,3 3 ky y y yk k      。 2 2 2 24 48 33 23 3 k k k      2k   ( 2,0)Q  解法四： 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设l 的方程： 4y kx  ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 则 4( ,0)Q k  1PQ QA   , 1 1 1 4 4( , 4) ( , )x yk k      。  1 1 1 4 4 4 4 k kxx k       同理 1 2 4 4kx     1 2 1 2 4 4 8 4 4 3kx kx         . 即 2 1 2 1 22 5 ( ) 8 0k x x k x x    。 （*） 又 2 2 4 13 y kx yx     消去 y 得 2 2(3 ) 8 19 0k x kx    . 当 23 0k  时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 23 0k  。 由韦达定理有： 1 2 2 1 2 2 8 3 19 3 kx x k x x k       代入（*）式得 2 4, 2k k   所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) 。 22．（本小题满分 14 分） 已知 1 2a  ，点 1( , )n na a  在函数 2( ) 2f x x x  的图象上，其中 1,2,3,n   （1）证明数列{lg(1 )}na 是等比数列； （2）设 1 2(1 )(1 ) (1 )n nT a a a    ，求 nT 及数列{ }na 的通项； （3）记 1 1 2n n n b a a    ，求数列{ }nb 的前 n 项 nS ，并证明 2 13 1n n S T   解：（Ⅰ）由已知 2 1 2n n na a a   ， 2 1 1 ( 1)n na a    1 2a  1 1na   ，两边取对数得 1lg(1 ) 2lg(1 )n na a   ， 即 1lg(1 ) 2lg(1 ) n n a a   {lg(1 )}na  是公比为 2 的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 1lg(1 ) 2 lg(1 )n na a    11 22 lg3 lg3 nn    121 3 n na     （*） 1 2(1 )(1 )nT a a    n…(1+a ) 0 1 22 2 23 3 3     n-12… 3 21 2 23    n-1…+2 = n2 -13 由（*）式得 123 1n na    （Ⅲ） 2 1 0 2n na a a   1 ( 2)n n na a a   1 1 1 1 1( )2 2n n na a a     1 1 1 2 2n n na a a     又 1 1 2n n n b a a    1 1 12( )n n n b a a     1 2nS b b    n…+b 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 12( ) n na a a a a a       …+ 1 1 1 12( ) na a    12 2 1 13 1, 2, 3 1n n n na a a       2 21 3 1nnS    又 2 13 n nT  2 13 1n n S T    .