数学华东师大版九年级上册教案22-3 实践与探索 第2课时 3页

1 22.3 实践与探索 第 2 课时 教学目标 1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题． 教学重难点 【教学重点】 用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题. 【教学难点】 解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆 增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元．要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？ 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决增长率问题 【类型一】增长率问题 某工厂一种产品 2013 年的产量是 100 万件，计划 2015 年产量达到 121 万件．假设 2013 年到 2015 年这种产品产量的年增长率相同． (1)求 2013 年到 2015 年这种产品产量的年增长率； (2)2014 年这种产品的产量应达到多少万件？ 解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入 2014 年产量的表达式即可解决． 解：(1)设这种产品产量的年增长率为 x，根据题意列方程得 100(1＋x)2＝121，解得 x1＝0.1， x2＝－2.1(舍去)． 答：这种产品产量的年增长率为 10%. (2)100×(1＋10%)＝110(万件)． 答：2014 年这种产品的产量应达到 110 万件． 方法总结：增长率问题中可以设基数为 a，平均增长率为 x，增长的次数为 n，则增长后的 结果为 a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为 a(1－x)n. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是 90 万元，每月另需支付设备维护费 5 万元； 从今年 1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达 100 万元， 2 1 至 3 月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达 364 万元，3 月份后，每月生产收入 稳定在 3 月份的水平． (1)求使用新设备后，2 月、3 月生产收入的月增长率； (2)购进新设备需一次性支付 640 万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使 用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费) 解析：(1)设 2 月，3 月生产收入的月增长率为 x，根据题意建立等量关系，即 3 个月之和为 364 万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生 产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付 640 万元大于或等于旧设备几个月的生产收入 －每个月的维护费，然后解不等式． 解：(1)设 2 月，3 月生产收入的月增长率为 x，根据题意有 100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2 ＝364，即 25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以 2 月，3 月生产收入的 月增长率为 20%. (2)设 m 个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有 364 ＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备 12 个月后所得累 计利润不低于使用旧设备的累计利润． 方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解 决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解． 【类型二】利润问题 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买 树苗不超过 60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这 批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元．该校最终向园林公司 支付树苗款 8800 元．请问该校共购买了多少棵树苗？ 解析：根据条件设该校共购买了 x 棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解． 解：∵60 棵树苗售价为 120 元×60＝7200 元<8800 元，∴该校购买树苗超过 60 棵．设该校 共购买了 x 棵树苗，由题意得 x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得 x1＝220，x2＝80.当 x1＝220 时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220 不合题意，舍去；当 x2＝80 时，120－0.5(80 －60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80. 答：该校共购买了 80 棵树苗． 方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的 解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解． 【类型三】方案设计问题 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩 大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千 克 3.2 元的价格对外批发销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元．试问小华选择哪种方案更优 惠？请说明理由． 分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为 x，列一元二次方程求出 x，舍去不合题意的解； 第(2)小题通过计算进行比较即可求解． 解：(1)设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 5(1－x)2＝3.2，解得 x1＝0.2＝20%，x2 ＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为 20%； (2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝ 14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小 3 华选择方案一购买更优惠． 三、板书设计 四、教学反思 教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.