2021届高考数学一轮复习专题五圆锥曲线的综合及应用问题第2课时课件 23页

第 2 课时 题型 1 圆锥曲线中的定点问题 (1) 求 C 的方程； (2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ， B 两点 . 若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为－ 1 ，证明： l 过定点 . 【 名师点评 】 (1) 圆锥曲线中定 点问题的两种解法： ① 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； ② 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关 . (2) 定点的探索与证明问题的两种策略： ① 探索直线过定点时，可设出直线方程为 y ＝ kx ＋ b ，然后 利用条件建立 b ， k 的等量关系进行消元，借助于直 线系的思想 找出定点； ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 . 【 跟踪训练 】 且经过点 A (0,1). (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设 O 为原点，直线 l ： y ＝ kx ＋ t ( t ≠±1) 与椭圆 C 交于两 个不同点 P ， Q ，直线 AP 与 x 轴交于点 M ，直线 AQ 与 x 轴交 于点 N ，若 | OM |·| ON | ＝ 2 ，求证：直线 l 经过定点 . 题型 2 圆锥曲线中的定值问题 例 2 ： (20 19 年新课标 Ⅰ ) 已知点 A ， B 关于坐标原点 O 对称， | AB | ＝ 4 ，⊙ M 过点 A ， B 且与直线 x ＋ 2 ＝ 0 相切 . (1) 若 A 在直线 x ＋ y ＝ 0 上，求⊙ M 的半径； (2) 是否存在定点 P ，使得当 A 运动时， | MA | － | MP | 为定值？ 并说明理由 . 解： (1)∵⊙ M 过点 A ， B ，∴圆心 M 在 AB 的垂直平分线 上 . 由已知 A 在直线 x ＋ y ＝ 0 上，且 A ， B 关于坐标原点 O 对称， ∴ M 在直线 y ＝ x 上，故可设 M ( a, a ). ∵⊙ M 与直线 x ＋ 2 ＝ 0 相切， ∴⊙ M 的半径为 r ＝ | a ＋ 2|. 解得 a ＝ 0 或 a ＝ 4. 故⊙ M 的半径 r ＝ 2 或 r ＝ 6. (2) 存在定点 P (1,0) ，使得 | MA | － | MP | 为定值 . 理由如下： 设 M ( x, y ) ，由已知得⊙ M 的半径为 r ＝ | x ＋ 2| ， | AO | ＝ 2. 化简得 M 的轨迹方程为 y 2 ＝ 4 x . ∵ 曲线 C ： y 2 ＝ 4 x 是以点 P (1,0) 为焦点，以直线 x ＝－ 1 为 准线的抛物线，∴ | MP | ＝ x ＋ 1. ∵| MA | － | MP | ＝ r － | MP | ＝ x ＋ 2 － ( x ＋ 1) ＝ 1 ， ∴ 存在满足条件的定点 P . 【 跟踪训练 】 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 过点 M (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，设点 N (3,2) ，记直线 AN ， BN 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，求证： k 1 ＋ k 2 定 值 . 3.(2018 年北京 ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 经过点 P (1,2). 过点 Q (0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N . (1) 求直线 l 的斜率的取值范围； (1) 解： ∵ 抛物线 y 2 ＝ 2 px 经过点 P (1,2) ， ∴4 ＝ 2 p ，解得 p ＝ 2 ，∴抛物线的方程为 y 2 ＝ 4 x . 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0 ， 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1( k ≠0). 依题意 Δ ＝ (2 k － 4) 2 － 4× k 2 ×1>0 ， 解得 k <0 或 0< k <1. 又 PA ， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点 (1 ，－ 2). 从而 k ≠ － 3. ∴ 直线 l 斜率的取值范围是 ( －∞，－ 3)∪( － 3,0)∪(0,1).