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- 2021-04-28 发布
高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
直线与圆锥曲线的位置关系及弦长问题
解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.
2017课标全国Ⅰ10
★★★★
圆锥曲线的最值、范围、证明问题
2017课标全国Ⅲ20
2016课标全国Ⅱ20
★★★★★
圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
2017课标全国Ⅰ20
2015课标全国Ⅱ20
★★★★★
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系及弦长问题
题组一 直线与圆锥曲线的位置关系的应用
调研1 直线=与椭圆=的位置关系为
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A．
调研2 若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得直线恒过定点P,所以点P要在双曲线的内部或双曲线上，就能保证对于任意的k，直线与双曲线均有交点，所以,选B．
☆技巧点拨☆
1．直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解.
2．直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解.
题组二 弦长问题
调研3 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且,则__________.
【答案】6
【解析】易知抛物线的焦点为，准线为.如图，取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为.
由抛物线的定义可知，则.
设，则，又，所以，
又，即，解得.所以.
调研4 设椭圆C：过点，右焦点为，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：分别交x轴，y轴于两点，且与椭圆C交于两点，若，求k的值，并求弦长．
【解析】（1）由椭圆C过点，可得，
由题意可得，即，
解得，
故椭圆C的方程为.
（2）直线l：与x轴的交点为与轴的交点为，
联立，消去y得，
设，则，
，
由，得，解得
由得，
代入得，
，
可得．
考点2 圆锥曲线的最值、范围、证明问题
题组一 圆锥曲线中的最值问题
调研1 如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（1）求直线AP斜率的取值范围；
（2）求的最大值．
【解析】（1）设直线AP的斜率为，则，，∴直线的斜率的取值范围是.
（2）易得直线AP的方程为,即；直线的方程为，即.
联立直线与的方程，得，解得点Q的坐标是，
故，
又，
所以，
令，.
因为，所以 f(k)在区间上单调递增，在上单调递减，因此当k=时，取得最大值，为．
调研2 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.
【解析】(1)由已知，有，即.
∵，∴.
设点的纵坐标为.
则，即.
∴，.
∴椭圆的方程为.
(2)由题意知直线的斜率不为，故设直线：.
设，，，.
联立，消去，得.
此时.∴，.
由弦长公式，得.
整理，得.
又，∴.
∴.
∴，
当且仅当，即时等号成立.
∴当，即直线的斜率为时，取得最小值.
☆技巧点拨☆
求圆锥曲线中的最值问题常用的方法
1．几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象法来解决，这是几何法，充分体现了数形结合思想．
2．代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常见方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等．充分体现了函数与方程思想．
题组二 圆锥曲线中的范围问题
调研3 已知圆的圆心为，，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段
的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若过点的直线交曲线于，两点，求的取值范围.
【解析】（1）连接，由于是线段的垂直平分线，所以，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，故其方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，，
，所以．
②当直线的斜率存在时，设：，代入，
消去得，
设，则，
因为，
所以
.
因为，所以，所以，
综上可知，的取值范围是．
☆技巧点拨☆
求圆锥曲线中的范围问题常用等价转化思想与数形结合思想，常用方法有：
(1)几何法：根据圆锥曲线自身的几何性质以及几何量之间的不等关系建立不等式，求出参数的取值范围．
(2)代数法．常从以下五个方面入手：
①若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围；
②若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解；
③利用隐含或已知的不等关系式直接求范围；
④利用基本不等式求范围；
⑤利用函数值域的方法求范围．
题组三 圆锥曲线中的证明问题
调研4 抛物线：的焦点是，直线与的交点P到的距离等于.
（1）求抛物线的方程；
（2）是圆上的一点，过点作的垂线交于，两点，求证：.
【解析】（1）由知到准线的距离也是，∴点横坐标是，
将代入，得，∴抛物线的方程为.
（2）可设直线的方程为，则的方程为，
联立得，代入中，整理得，
联立得，，
设，，则，，
则，
∴，∴.
☆技巧点拨☆
1．圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
2．圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
3．解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
考点3 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
题组一 圆锥曲线中的定点问题
调研1 设直线的方程为=,该直线交抛物线于两个不同的点.
(1)若点为线段的中点,求直线的方程;
(2)证明:以线段为直径的圆恒过点.
【解析】(1)联立 ,消去得=,
设,
则==,
因为为线段的中点,所以,解得,
所以直线的方程为=.
(2)因为==,
,
所以=,
即=,
所以==,
因此,
即以线段为直径的圆恒过点.
调研2 已知椭圆的离心率为,且椭圆过点,过点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆交于四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若,探究：直线是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.
【解析】(1)由题意知,
所以椭圆的方程为.
(2)因为,所以分别为的中点,
当两直线的斜率都存在且不为0时,设直线的方程为,
则直线的方程为设.
联立,消去得,
,所以的中点的坐标为,
同理,的中点的坐标为,所以,
所以直线的方程为,
即,所以直线过定点,
当两直线的斜率分别为0和不存在时,则直线的方程为,也过点,
综上所述,直线过定点.
☆技巧点拨☆
定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明，求解的方法常见的有如下两种：
(1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；
(2)曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关．
题组二 圆锥曲线中的定值问题
调研3 已知椭圆C：的离心率，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN的斜率为定值.
【解析】(1)由，得，
因为椭圆过点，所以，
又，解得，
所以椭圆C的方程为．
(2) 显然两直线的斜率存在，设为，，
由于直线与圆相切，则有，
直线的方程为，
联立消去得，
因为为直线与椭圆的交点，所以，
同理，当与椭圆相交时，，
所以，而，
所以直线的斜率，为定值．
调研4 已知,抛物线与抛物线异于原点的交点为,且抛物线在点处的切线与轴交于点,抛物线在点处的切线与轴交于点,与轴交于点.
(1)若直线与抛物线交于点,且,求抛物线的方程;
(2)证明:的面积与四边形的面积之比为定值.
【解析】(1)由,消去得.
设的坐标分别为,则.
∴,∵,∴.
故抛物线的方程为.
(2)由,得或,则.
设直线,与联立得.
由,得,∴.
设直线,与联立得.
由,得,∴.
故直线,直线,
从而不难求得,∴,
∴的面积与四边形的面积之比为(为定值).
☆技巧点拨☆
解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握：
(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；
(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；
(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．
题组三 圆锥曲线中的存在性问题
调研5 已知点与点都在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆的左焦点、左顶点分别为,则是否存在过点且不与轴重合的直线 (记直线与椭圆的交点为),使得点在以线段为直径的圆上;若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由已知得解得,
所以椭圆的方程为.
(2)解法一：由题意知:,
设,则
因为===,
所以.
所以点不在以为直径的圆上,
即:不存在直线,使得点在以为直径的圆上.
解法二：由题意可设直线的方程为=.
由消去x，得
所以==
所以==,
==
因为=,所以,所以
所以点不在以为直径的圆上,
即:不存在直线,使得点在以为直径的圆上.
☆技巧点拨☆
1．存在性问题的解题步骤
(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．
(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．
(3)得出结论．
2．解决存在性问题的注意事项
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
1．（河南省豫南九校2017-2018学年下学期联考）若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
2．（【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷ⅠA信息卷）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于点，若，且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
3．（湖南省益阳市2018届高三4月调研考试）设双曲线的左焦点，直线与双曲线在第二象限交于点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为，又，所以，则为直角三角形，即，则，，由双曲线的定义得，即，则，所以双曲线的渐近线方程为
.故选C．
4．(2017·河南适应性模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是(4,0)，则|AB|的最大值为
A．2 B．4
C．6 D．10
【答案】C
5．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意知，得，不妨设椭圆的方程为，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，联立两式解得，代入椭圆方程解得，，由此可得椭圆的方程为或.故选C．
6．（2018届四川省泸州泸县第五中学高三上学期期末考试）过抛物线=的焦点作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,则
A． B．
C． D．
【答案】C
7．（2018届福建省厦门市高三年级上学期期末质检）直线与抛物线交于两点,若,则___________．
【答案】
【解析】由消去y，整理得=,
∵直线与抛物线交于A,B两点,∴,解得．
设,则．
∵==,∴==,
∴k2=3,=．
检验知满足条件．
8．（山西省2018年高考考前适应性测试）过双曲线的右焦点，且斜率为2的直线与的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意知,故,故.
9．（上海市虹口区2018届高三上学期期末教学质量监控）设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则___________.
【答案】4
10．（四川省攀枝花市2018届高三第三次（4月）统一考试）已知为抛物线的焦点,过作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，过向的准线作垂线，垂足分别为,设的中点为．若,则的取值范是___________．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角，所以直线的斜率，
设过焦点的直线方程为，联立，整理得，所以，
则，即点的坐标为，
所以，
又因为，所以，所以，
即的取值范围是．
11．（2018届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试）已知椭圆
的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
【答案】(1)；(2).
故所求椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为，
由得，
，
设，其中就是上述方程的两个根，
所以.
.
点到直线的距离为，
所以，解得.
设所求圆的半径为，.
所以所求圆的方程为.
12．（2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考）已知抛物线的焦点为.
(1)若斜率为的直线过点与抛物线交于两点,求的值;
(2)过点作直线与抛物线交于两点,且,求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
13．（2018届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考）已知椭圆的离心率为 , 为焦点是 的抛物线上一点,为直线上任一点,分别为椭圆 的上,下顶点,且 三点的连线可以构成三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线 与椭圆的另一交点分别交于点,求证:直线过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
14．（湖南省株洲市2018届高三年级教学质量统一检测）在平面直角坐标系中，已知 为椭圆 的左焦点，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在平行四边形 ，同时满足下列两个条件：
①点在直线上；②点 在椭圆上且直线 的斜率等于1.如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）.（2）见解析.
15．（2017-2018学年北京101中学高三零模）已知椭圆的离心率为的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上的一点,直线与轴交于点直线与轴交于点.求证为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析.
【解析】(1)由椭圆的离心率为得
由且的面积为1得
又因为
所以
所以椭圆的标准方程是
16．（2018届河南省中原名校高三第六次质量考评）已知椭圆及点,若直线与椭圆交于点,且为坐标原点),椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线交椭圆于不同的两点,求面积的最大值.
【答案】(1)；(2) 1.
(2)设直线的方程为,
由得.
由题意得,,
整理得,所以或.
设,则,
所以=.
又由题意得,到直线的距离.
的面积
当且仅当,即时取等号,且此时满足,
所以面积的最大值为1.
17．（2018届河南省高三4月普通高中毕业班高考适应性考试）在平面直角坐标系中,已知椭圆：的离心率分别为左、右焦点,过的直线交椭圆于两点,且的周长为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线交椭圆于不同的两点.为椭圆上一点,且满足 (为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
∴,
则 .
由点在椭圆上,得,化简得. ①
又由,即,
将代入得,
化简,得,则,∴. ②
由①,得,联立②,解得.
∴或,即.
故实数的取值范围是.
1．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14
C．12 D．10
【答案】A
线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
2．（2017新课标全国III理科）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程．
【答案】（1）见解析；（2）当时，直线的方程为，圆的方程为；当时，直线的方程为，圆的方程为．
故圆心的坐标为，圆的半径．
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得．
所以，解得或．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
3．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k > 0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求k的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
4．（2015新课标全国Ⅱ理科） 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）能为平行四边形，的斜率为或．
【解析】(Ⅰ)设直线，，，．
将代入得，故，
．