高考数学复习点拨巧用正弦定理解题 3页

巧用正弦定理解题 正弦定理是三角形中的一个重要定理，它揭示了三角形中边和角的关系，进而把三角函数的运算与代数式的运算联系起来，使解题极为方便。下面从五个方面举例说明：‎ 一、已知两角和任一边解三角形 例1、在△ABC中，已知中，求，及△ABC的面积S 解：依正弦定理：＝，∴，代入已知条件，‎ ‎∵，又＝，‎ ‎∴（或因为∠C＝∠A，△ABC为等腰三角形，所以）∴‎ 点评：已知两角实际上第三个角也是已知的，故用正弦定理很方便可以求出其它边的值。‎ 二、已知两边和其中一边对角解三角形 例2、已知在△ABC中，，解这个三角形 解：由正弦定理及已知条件有：，得，∵，‎ ‎∴，∴或，‎ 当时，，‎ ‎∴‎ 当时，，‎ ‎∴‎ 点评：两边和其中一边对角已知，容易求出另一边所对的角，从而三个角都可以求出。由于正弦函数在不是单调的，故要注意多解情况。‎ 三、判定三角形形状 例3、在△ABC中，若·＝·成立，试判断这个三角形形状。‎ 解：用正弦定理，得：·＝·，‎ ‎·＝·，∴，即，根据三角形内角和定理，知、必都为锐角。所以A＝B，即△ABC是等腰三角形。‎ 点评：由已知条件确定三角形的形状，主要通过两个途径：①化角为边，通过代数式变形求出边与边之间关系。②化边为角，利用三角恒等变形找出角与角之间关系。一般情况下，利用三角恒等变形计算量会小一些。‎ 四、证明三角形中的三角恒等式 例4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，证明：．‎ 证明：由正弦定理得：‎ ‎．‎ ‎=‎ ‎==．‎ 所以，．‎ 点评：由于不等式两边一边是代数式，一边是三角式，故通过正弦定理来把边全化为角，把证明转化为三角恒等变形的问题。 ‎ 五、处理实际问题 例5在某点B测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30米，到点C处测得顶端A的仰角为，再继续前进米到点D点，顶端A的仰角为，求的大小和建筑物AE的高。‎ 解：如图所示，在中，，‎ ‎，‎ ‎，因为，，得 ‎，在中，，‎ 所以所求角为，建筑物高为15米。‎ A B C D E ‎2‎ ‎4‎ 点评：本题关键在于把实际问题中的已知和所求的量用图形表示出来，把问题转化为三角函数的问题，再运用正弦正理解之。‎