2020-2021学年人教A版数学必修3习题：第三章　概率 单元质量评估2 12页

第三章单元质量评估(二) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”， 事件 B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件 C 为“落地时向上的 点数是 3 的倍数”，事件 D 为“落地时向上的点数是 6 或 4”，则下 列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( C ) A．A 与 B B．B 与 C C．A 与 D D．C 与 D 解析：A 与 B 是对立事件，B 与 C 既不是互斥事件也不是对立事 件，A 与 D 是互斥事件但不是对立事件，C 与 D 既不是互斥事件也 不是对立事件，选 C. 2．在给连体婴儿动手术之前，外科医生会告知病人家属一些情 况，其中有一项是这种手术的成功的概率大约是 65%.下列解释正确 的是( D ) A．65%的医生能做这个手术，另外 35%的医生不能做这个手术 B．这个手术一定成功 C．100 个手术有 65 个手术成功，有 35 个手术失败 D．这个手 术成功的可能性大小是 65% 解析：成功的概率大约是 65%，说明手术成功的可能性大小是 65%，故选 D. 3．某地区高中达标校分为三个等级，一级达标校共有 3 000 名 学生，二级达标校共有 3 900 名学生，三级达标校共有 4 100 名学生， 若采取分层抽样的方法抽取 1 000 名学生，则一级达标校中的学生甲 被抽到的概率为( B ) A. 1 10 B. 1 11 C.1 3 D. 1 3 000 解析：因为总体的个数为 3 000＋3 900＋4 100＝11 000，采取分 层抽样的方法抽取 1 000 名学生，由于每个个体被抽到的概率都相等， 所以一级达标校中的学生甲被抽到的概率 P＝ 1 000 11 000 ＝ 1 11 ，故选 B. 4．小陈与小李两人相约去游玩，他们约定各自独立地从 1～5 号 景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后 1 小时他们 在同一个景点的概率为( C ) A. 1 25 B. 1 10 C.1 5 D.2 5 解析：若用 1,2,3,4,5 代表 5 个景点，显然最后 1 小时，小陈、小 李两人各选择一个景点游览的结果数为 25，其中两人在同一个景点 有 5 种结果，所以最后 1 小时他们在同一个景点的概率为 5 25 ＝1 5 ，故 选 C. 5．已知函数 f(x)＝log2x，x∈[1,8]，则 1≤f(x)≤2 成立的概率是 ( B ) A.1 7 B.2 7 C.3 7 D.4 7 解析：由 1≤f(x)≤2 可知 1≤log2x≤2，解得 2≤x≤4，由几何概 型可知 P＝2 7 ，选 B. 6．如图所示，半径为 4 的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒 一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是1 3 ，则小狗图案的面积是 ( D ) A.π 3 B.4π 3 C.8π 3 D.16π 3 解析：设小狗图案的面积为 S1，圆的面积 S＝π×42＝16π，由几 何概型的概率计算公式得S1 S ＝1 3 ，得 S1＝16π 3 .故选 D. 7．在五个数字 5,6,7,8,9 中，若随机取出三个数字，则剩下两个 数字都是奇数的概率是( B ) A.3 5 B. 3 10 C.2 5 D. 7 10 解析：列举出从五个已知数字中随机取出三个数字后剩下两个数 字的所有可能情况：{5,6}，{5,7}，{5,8}，{5,9}，{6,7}，{6,8}，{6,9}， {7,8}，{7,9}，{8,9}，共有 10 种情况，剩下两个数字都是奇数的可能 情况：{5,7}，{5,9}，{7,9}，共有 3 种情况，所以所求概率 P＝ 3 10 ， 故选 B. 8．一个笼子里有 3 只白兔，2 只灰兔，现让它们一一跑出笼子， 假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是 白兔，另一只是灰兔的概率是( A ) A.3 5 B.4 5 C.2 3 D.3 4 解析：设 3 只白兔分别为 b1，b2，b3,2 只灰兔分别为 h1，h2，则 所有可能的情况有(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)， (b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)， (b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)， (h2，h1)，共 20 种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有 12 种，∴所求概率为12 20 ＝3 5. 9．有一个边长为 2 米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可 消灭周围 1 米范围内的蚊子的灭蚊器(自身体积可忽略)，若一只蚊子 随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为( A ) A.π 6 B.π 4 C.1 2 D.2 3 解析：设“蚊子被灭蚊器消灭”为事件 A，由题知，墙角安装有 一个可消灭周围 1 米范围内的蚊子的灭蚊器，其覆盖区域为1 8 个以正 方体顶点为球心，1 为半径的球体，正方体的 8 个顶点覆盖区域合计 为 1 个球体．则 P(A)＝V 球 V 正 ＝ 4 3π 8 ＝π 6. 10．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币， 所有人同时抛起自己的硬币．硬币落下后若硬币正面朝上，则这个人 站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个 人站起来的概率为( B ) A.1 4 B. 7 16 C.1 2 D. 9 16 解析：由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率．四个人同时 抛硬币，共有 24＝16 种不同的情况，其中两个人的硬币同为正面时 需要站起来的情况有 4 种，三个人需要站起来有 4 种情况，四个人都 站起来有 1 种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率 P＝4＋4＋1 16 ＝ 9 16.故没有相邻的两人站起来的概率 P＝1－ 9 16 ＝ 7 16. 11．从区间[－1,1]上随机抽取实数 x，y，则|x|＋2|y|≤1 的概率为 ( B ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 解析：由几何概型得，|x|＋2|y|≤1 在区间[－1,1]上所形成的区域 的面积 S1＝1 2 ＋1 2 ＝1，总面积 S＝2×2＝4，则所求概率 P＝S1 S ＝1 4 ，故 选 B. 12．周三下午第一节 40 分钟的自习课，小聪和小明分别去教师 办公室单独请罗老师讲解数学疑难问题，两人在自习课内的任何时刻 去是等可能的，若罗老师给每个人讲解的时间都是 10 分钟，则罗老 师给他们两人单独讲解没有时间冲突的概率为( C ) A. 7 16 B.3 4 C. 9 16 D.1 2 解析：设上课开始的时刻为第 0 分钟，小聪和小明到达教师办公 室的时刻分别为第 x 分钟和第 y 分钟，则 0≤x≤40， 0≤y≤40， 若罗老师给 他们两人单独讲解没有时间冲突，则 x，y 满足 0≤x≤40， 0≤y≤40， |x－y|>10， 即 0≤x≤40， 0≤y≤40， x－y>10， y－x>10， 令事件 A 为罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲 突，则总的基本事件空间为如图所示的正方形，其中事件 A 构成的基 本事件空间为正方形中的阴影部分． 于是 P(A)＝ 1 2 ×30×30×2 40×40 ＝ 9 16 ，即罗老师给他们两人单独讲解没 有时间冲突的概率为 9 16 ，故选 C. 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．在区间[－3,5]上随机地取一个数 x，则关于 x 的不等式 2－ m≤x≤1＋m 成立的概率为3 8 ，则实数 m 的值为 2. 解析：依题意，得 2－m≤1＋m， 1＋m－2－m 5－－3 ＝3 8 ， 所以 m≥1 2 ， m＝2， 解得 m＝2. 14．某县准备从 5 名报名者(其中男性 3 名，女性 2 名)中选 2 人 参加副局长职务的竞选，则所选 2 人均为女性的概率为 1 10. 解析：设 5 人中的 3 名男性分别为 a，b，c,2 名女性分别为 D， E，所以从这 5 人中选 2 人的所有基本事件有{a，b}，{a，c}，{a， D}，{a，E}，{b，c}，{b，D}，{b，E}，{c，D}，{c，E}，{D，E}， 共 10 个，其中 2 人均为女性的基本事件有{D，E}，共 1 个，所以所 选 2 人均为女性的概率为 1 10. 15．某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每 掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如 玩家一开始掷出的骰子点数为 3，则走到炸弹所在位置)，若踩到炸弹， 则返回起点重新开始，若达到终点，则游戏结束．现在已知小明掷完 三次骰子后游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为 21. 解析：所有不同的情况种数有(3,4,5)，(3,6,3)，(3,5,4)，(1,3,5)， (1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(4,1,4)， (4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)．共 21 种． 16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法， 如著名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下 面的试验来估计π的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个两数都 小于 1 的正实数对(x，y)；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边长 的数对(x，y)的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计π的值．假如统 计结果是 m＝56，那么可以估计π≈78 25.(用分数表示) 解析：由题意知，200 个两数都小于 1 的正实数对(x，y)满足 0≤x≤1， 0≤y≤1， 对应图形面积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形的三 边长的数对(x，y)满足 x2＋y2<1 且 0≤x≤1， 0≤y≤1， x＋y>1， 对应图形的面积为π 4 －1 2 ，因为统计两数能与 1 构成钝角三角形三边长的数对(x，y)的个数 m＝56，所以 56 200 ≈π 4 －1 2 ，∴π≈78 25. 三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说 明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题 10 分)某医院一天内派出下乡医疗的医生人数及其概 率如下： 医生人数 0 1 2 3 4 5 人及以上 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若派出医生不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值； (2)若派出医生最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44， 求 y、z 的值． 解：(1)由派出医生不超过 2 人的概率为 0.56，得 0.1＋0.16＋x＝ 0.56，∴x＝0.3. (2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96，得 0.96＋z＝1，∴z＝0.04. 由派出医生最少 3 人的概率为 0.44，得 y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝ 0.44－0.2－0.04＝0.2. 18．(本小题 12 分)在甲、乙等 5 位学生参加的一次社区专场演唱 会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，若采用抽签的方法随机 确定各位学生的演出顺序(序号为 1,2,3,4,5)． (1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率； (2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率． 解：甲、乙两人可能被排在 1,2 号；1,3 号；1,4 号；1,5 号；2,3 号；2,4 号；2,5 号；3,4 号；3,5 号；4,5 号，共 10 种情形． 其中甲、乙两人至少有一人被安排在偶数号的情形有：1,2 号； 1,4 号；2,3 号；2,4 号；2,5 号；3,4 号；4,5 号，共 7 种．甲、乙两人 被安排在不相邻的演出序号的情形有：1,3 号；1,4 号；1,5 号；2,4 号； 2,5 号；3,5 号，共 6 种． (1)记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”为事件 A，则 P(A)＝ 7 10. (2)记“甲、乙两人的演出序号不相邻”为事件 B，则 P(B)＝ 6 10 ＝ 3 5. 19．(本小题 12 分)某市为了成为宜商、宜居的国际化现代新城， 在该市的东城区、西城区分别引进 8 个厂家，现对这两个城区的 16 个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示． (1)根据茎叶图判断哪个城区的厂家的平均分较高； (2)规定 85 分以上(含 85 分)为优秀厂家，若从这两个城区各选 1 个优秀厂家，求得分差距不超过 4 的概率． 解：(1)根据茎叶图，可知东城区的厂家的平均分为1 8 ×(78＋79 ＋79＋87＋88＋89＋93＋94)＝85.875. 西城区的厂家的平均分为1 8 ×(72＋79＋81＋83＋84＋85＋94＋ 95)＝84.125. 因为 85.875>84.125，所以东城区的厂家的平均分较高． (2)东城区、西城区的优秀厂家分别有 5 家、3 家． 从这两个区域各选一个优秀厂家，共有 15 种不同的取法，其基 本事件分别为(东 87，西 85)，(东 87，西 94)，(东 87，西 95)，(东 88， 西 85)，(东 88，西 94)，(东 88，西 95)，(东 89，西 85)，(东 89，西 94)，(东 89，西 95)，(东 93，西 85)，(东 93，西 94)，(东 93，西 95)， (东 94，西 85)，(东 94，西 94)，(东 94，西 95)． 其中满足得分差距不超过 4 的基本事件有 7 种，分别为(东 87， 西 85)，(东 88，西 85)，(东 89，西 85)，(东 93，西 94)，(东 93，西 95)，(东 94，西 94)，(东 94，西 95)．所以所求概率 P＝ 7 15. 20．(本小题 12 分)某港口有一个泊位，现统计了某月 100 艘轮船 在该泊位停靠的时间(单位：小时)，停靠时间不足半小时按半小时计 时，超过半小时不足 1 小时按 1 小时计时，以此类推，统计结果如表： 停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量 12 12 17 20 15 13 8 3 (1)设该月 100 艘轮船在该泊位的平均停靠时间为 a 小时，求 a 的值； (2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠 a 小时，且在 一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊 位时必须等待的概率． 解：(1)a＝ 1 100 ×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋ 5×13＋5.5×8＋6×3)＝4. (2)设甲船到达的时间为 x 时，乙船到达的时间为 y 时，则 0≤x≤24， 0≤y≤24， 若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y－ x|<4，|y－x|<4 表示的区域如图中阴影部分所示，所以必须等待的概 率 P＝1－202 242＝11 36. 21．(本小题 12 分)x 的取值范围为[0,10]，给出如图所示的程序 框图，输入一个数 x. (1)请写出程序框图所表示的函数表达式； (2)求输出的 y 满足 y<5 的概率； (3)求输出的 y 满足 6