三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 立体几何中的探究性问题 文 3页

第55课 立体几何中的探究性问题 ‎1．（2019佛山二模）如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，.‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）求证: 平面； ‎ ‎（3）在棱上是否存在点（异于点），使得∥平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）显然四边形为直角梯形，‎ ‎∵底面，‎ ‎(2) ∵底面， 底面，∴．‎ ‎∵在直角梯形中，‎ 又∵， ∴平面． ‎ ‎(3)不存在，下面用反证法证明：‎ 假设存在点（异于点），使得∥平面，‎ ‎∵，平面，‎ ‎∴平面，．‎ ‎∴平面∥平面，‎ 而平面与平面相交，得出矛盾．‎ ‎2．（2019昌平二模）在正四棱柱中，为中点, 为中点.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）在上是否存在一点,使平面?若存在，请确定点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.‎ 证明：（1）在正四棱柱中，‎ 取中点,连结,如图：‎ ‎∴且.‎ ‎∴四边形是平行四边形. ‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴.‎ ‎∵为中点，∴. ‎ ‎∴四边形是平行四边形. ‎ ‎（2）当点为的中点时,平面， ‎ 在正方形中, ‎ ‎ ∴,.∴平面. ‎ ‎∴在上存在中点,使得平面. ‎ ‎3．（2019朝阳二模）如图，四边形为正方形，平面，，.（1）求证：；‎ ‎（2）若点在线段上，且满足, 求证：平面；‎ ‎（3）试判断直线与平面是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.‎ 证明：（1）∵，‎ ‎∴与确定平面，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面. ‎ 又平面,∴.‎ ‎（2）过作，垂足为，‎ 连结，则. ‎ 又,∴.‎ 又且,‎ ‎∴，且， ‎ ‎∴四边形为平行四边形. ‎ 又平面,平面,‎ ‎∴平面. ‎ ‎（3）直线平面.‎ 证明如下：‎ 由（1）可知，.‎ 在四边形中，,,，‎ ‎∴，则.‎ 设,‎ ‎∵,故,‎ 则,即. ‎ 又∵，∴平面. ‎ ‎4．（2019茂名二模）如图所示，圆柱的高为，点、、、分别是圆柱下底面圆周上的点，为矩形，是圆柱的母线， ，，、、分别是线段、、的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：//平面；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，求出；若不存在，请说明理由．‎ 证明（1）∵是圆柱的母线，‎ ‎∴圆柱的底面． ‎ ‎∵圆柱的底面，， ‎ 又∵为矩形，∴，‎ 而，∴平面． ‎ 又平面，∴平面平面．‎ ‎（2）取中点，连接，‎ ‎∵、、分别是线段、、的中点，‎ ‎∴、、、四点共面． ‎ 又为中点，∴． ‎ 又平面，平面，‎ ‎∴//平面． ‎ ‎（3）假设在上存在一点，使得到平面的距离为，‎ 则以为底，为顶点的三棱锥的高为，‎ 连接，则， ‎ 由（2）知， ‎ ‎∴． ……11分 ‎∴． ……12分 ‎∵，∴，解得：．‎ ‎∴线段上存在一点，当时，‎ 使得到平面的距离为． ‎