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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理(二)
课前预习
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则点C到
AB的距离是( )A
A. 利用勾股定理进行证明:通过对图形的切割、拼
接,巧妙利用______________进行证明或求值.面积关系
B. 利用勾股定理,在数轴上可作长度为二
次根式(即______________数)表示的线
段,如 ,…
无理
2. 如图17-1-15,在长方形OABC中,OA=2,OC=1. 以
原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交数轴上原
点右边于一点,则这个点表示的实数是__________.
课堂讲练
【例1】如图17-1-16,以直角三角形的边a,b,c为
边,向外作等边三角形和半圆,求证:上述两种情况
的面积关系满足S1+S2=S3,S4+S5=S6.
知识点1 利用勾股定理进行证明
1. 现用4个全等的直角三角形拼成如图17-1-
17所示的“弦图”. 在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用
这个图形解决下列问题:
(1)试说明c2=a2+b2;
(2)如果大正方形的面积是6,小正方形的面
积是2,求(a+b)2的值.
解:(1)∵大正方形面积为c2,直角三角形面
积为 ab,小正方形面积为(b-a)2,
∴c2=4× ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2.
即c2=a2+b2.
(2)由图可知,(b-a)2=2,4× ab=6-2=4,
∴ab=2.
∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=10.
【例2】请在数轴上画出表示 的点.
知识点2 利用勾股定理作长为二次根式的线段
解:如答图17-1-3,步骤如下:
1.在数轴上找到点A,使OA=3.
2.作直线l垂直于OA,在l上取一
点B,使AB=2.
3.以原点O为圆心、以OB为半径
作弧,弧与数轴交于原点O右侧
的点C,则点C即为表示 的点.
2. 如图17-1-18,正方形网格中,每个小正
方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格
点.
(1)在图17-1-18①中,以格点为端点,画
线段MN= ;
(2)在图17-1-18②中,以格点为顶点,画
正方形ABCD,使它的面积为10.
解:(1)如答图17-1-4①.
(2)如答图17-1-4②.
1. 如图17-1-19,直线l上有三个正方形a,b,
c,若a,b的面积分别为1和10,则c的面积为
( )
A.8 B.9 C.10 D.11
分层训练
【A组】
B
2. 如图17-1-20,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,
∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,
折痕为MN,则线段BN的长为( )
A. B. C.4 D.5
C
3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽
取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个
全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正
方形,如图17-1-21. 如果大正方形的面积为13,
小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长
为a,较长直角边长为b,那么(a+b)2的值为
( )
A. 13
B. 19
C. 25
D. 169
C
4. 如图17-1-22,在长方形ABCD中,AB=3,
AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC
的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数
为( )
A. 2 B. -1
C. -1 D.
C
5. 如图17-1-23,在△ABC中,AB=15,AC=9 ,
AD⊥BC于点D,∠ACB=45°,则BC的长为_____.
6. 若Rt△ABC的两边a,c满足|a-5|+ =0,
则△ABC的面积为___________.
21
30或32.5
7. 如图17-1-24,已知△ABC是腰长为1的等腰
直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,
画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD
为直角边,画第三个等腰Rt△ADE……依此类
推,则第2 019个等腰直角三角形的斜边长是
___________.
8. 如图17-1-25,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,
AD=13,BC⊥AB,对角线AC⊥CD,求CD的长.
9. 在图17-1-26中的数轴上表示无理数 的对应
点.
解:所画图形如答图17-1-5,其中点A即为所
求.
【B组】
10. 如图17-1-27,在正方形网格中,四边
形ABCD的每个顶点都在格点上,已知小正方
形的边长为1,求这个四边形ABCD的周长和
面积.
解:AD= ,AB= ,CD= ,BC= ,
∴这个四边形ABCD的周长= ;
这个四边形ABCD的面积= ×5×2+ ×
5×1= .
11. 如图17-1-28,在Rt△ABC中,∠C=90°,
AC=4.
(1)若BC=2,求AB的长;
(2)若BC=a,AB=c,求代数式(c-2)2-
(a+4)2+4(c+2a+3)的值.
解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,
∴AB= .
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AB=c,
AC=4,
∴c2-a2=16.
∴原式=c2-4c+4-(a2+8a+16)+4c+8a+12
=c2-4c+4-a2-8a-16+4c+8a+12
=c2-a2
=16.
12. 在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对
边分别是a,b,c.
(1)若b=2,c=3,求a的值;
(2)若a∶c=3∶5,b=32,求a,c的值.
解:(1)∵a2+b2=c2,∴a= ∴a= .
(2)设a=3x,c=5x,
∵a2+b2=c2,
∴(3x)2+322=(5x)2.解得x=8.
∴a=24,c=40.
【C组】
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