2020_2021学年新教材高中数学第8章函数应用8 6页

‎8.2　函数与数学模型 ‎8.2.1　‎几个函数模型的比较 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点)‎ ‎2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点)‎ ‎3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)‎ 借助三个函数模型的增长特征，培养学生数学运算、数学建模的核心素养．‎ 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．尝试完成下表．‎ 三种函数模型的性质 y＝ax(a>1)‎ y＝logax(a>1)‎ y＝kx＋b(k>0)‎ 在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化趋势 增长速度 三种函数模型的性质 y＝ax(a>1)‎ y＝logax(a>1)‎ y＝kx(k>0)‎ 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ‎①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 - 6 -‎ ‎；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式 ‎②当x足够大时，总有ax>kx>logax ‎1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　　)‎ A．y减少1个单位 B．y增加1个单位 C．y减少2个单位 D．y增加2个单位 C　[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]‎ ‎2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是(　　)‎ A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x A　[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]‎ ‎3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．‎ 以下四种说法：‎ ‎①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．‎ 其中说法正确的序号是________．‎ ‎②③　[结合图象可知②③正确，故填②③．]‎ 几类函数模型的增长差异 ‎【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)‎ A．y＝2 019x　　　　　　 B．y＝2019‎ C．y＝log2 019x D．y＝2 019x ‎(2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)‎ A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 - 6 -‎ B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 ‎(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A．‎ ‎(2)观察函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：‎ 函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]‎ 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型,一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.‎ (2)指数函数模型,指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.‎ (3)对数函数模型,对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.‎ ‎1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：‎ x ‎1‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ y1‎ ‎2‎ ‎26‎ ‎101‎ ‎226‎ ‎401‎ ‎626‎ ‎901‎ y2‎ ‎2‎ ‎32‎ ‎1 024‎ ‎37 768‎ ‎1.05×106‎ ‎3.36×107‎ ‎1.07×109‎ y3‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ y4‎ ‎2‎ ‎4.332‎ ‎5.322‎ ‎5.907‎ ‎6.322‎ ‎6.644‎ ‎6.907‎ 关于x呈指数函数变化的变量是________．‎ y2　[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4‎ - 6 -‎ 均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．]‎ 指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 ‎【例2】　函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．‎ ‎(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；‎ ‎(2)结合函数图象，判断f与g，f(2 020)与g(2 020)的大小．‎ ‎[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x．‎ ‎(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，‎ 从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，‎ ‎∴f＜g；‎ 当x＞2时，f(x)＞g(x)，‎ ‎∴f(2 020)＞g(2 020)．‎ 由图象判断指数函数、一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.‎ ‎2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0．3x－1的图象如图所示．‎ ‎(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；‎ ‎(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．‎ - 6 -‎ ‎[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0．3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．‎ ‎(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．‎ 直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些． (　　)‎ ‎(2)当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logaxg(x)；‎ 当x＝4时，f(x)＝g(x)；‎ - 6 -‎ 当x>4时，f(x)