广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题11理（高补班）含解析 7页

- 1 - 广东省廉江市实验学校 2020 届高三数学上学期周测试题（11）理（高 补班） 考试时间：120 分钟（2020.1.7） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.已知集合，集合，则 A. B. C. D. 2.已知复数 z 满足，则 A. 12 B. 1 C. D. 3.已知 x，y 满足约束条件，则的最小值为 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4.已知为等差数列的前 n 项和，若，，则数列的公差 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5.在长为 2 的木棍上随机选择一点切断为两根，它们能够与另一根长为 1 的木棍组成三角 形的概率为 A. B. C. D. 6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A. B. C. D. （ 第 6 题图） 7.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 a 的值为 A. 2 B. 1 C. D. 8.记为数列的前 n 项和；已知和为常数均为等比数列，则 k 的值可能为 A. B. C. D. 9.有 m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外 n 位同学，但是 - 2 - 不能改变原本的 m 位同学的顺序，则所有排列的种数为 A. B. C. D. 10.设双曲线 C：的右焦点为 F，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存 在一点使得四边形 OPFQ 为矩形，则其离心率为 A. B. 2 C. D. 11.在正方体中，点 P，Q，R 分别在棱 AB，，上，且，，其中，若平面 PQR 与线段的交点为 N，则 A. B. C. D. 12.已知函数，方程对于任意都有 9 个不等实根，则实数 a 的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.已知且，则______． 14.动点 P 在函数的图象上，以点 P 为圆心作圆与 y 轴相切，则该圆过定点______． 15.已知点 A，B，C 均位于同一单位圆 O 上，且，若，则的取值范围为______． 16.若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转 对称函数”的有______填写所有正确结论的序号 ； ； 三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分） 17.在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知的面积． 求 A； 作角 B 的平分线交边于点 O，记和的面积分别为，，求的取值范围． 18.某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验，如图所示，每次使一个实心小 球从帕斯卡三角仪器的顶点人口落下，当它在依次碰到每层的菱形挡板时，会等可能地向 左或者向右落下，在最底层的 7 个出口处各放置一个容器接住小球．该小组连续进行 200 次试验，并统计容器中的小球个数得到如下的柱状图． - 3 - Ⅰ用该实验来估测小球落入 4 号容器的概率，若估测结果的误差小于，则称该实验是成功 的．试问：该兴趣小组进行的实验是否成功？误差 Ⅱ再取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望．计 算时采用概率的理论值 19.如图所示的三棱柱中，平面 ABC，，，的重点为 O，若线段上存在点 P 使得平面 C. Ⅰ求 AB； Ⅱ求二面角的余弦值． 20.椭圆的离心率为且四个顶点构成面积为的菱形． Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ过点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记 MN 中点为 B，坐标原点为 O，直线 BO 交椭圆于 P，Q 两点，当四边形 MPMQ 的面积为时，求直线 l 的方程． - 4 - 21、已知函数． Ⅰ当时，求的最小值； Ⅱ若在区间有两个极点，， 求实数 a 的取值范围； 求证：． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一 题计分。 22.（10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为为参数，以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为． Ⅰ求曲线 C 的直角坐标方程，并说明它为何种曲线； Ⅱ设点 P 的坐标为，直线 l 交曲线 C 于两点，求的取值范围． 23.（10 分）[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 Ⅰ当时，求的解集； Ⅱ记的最小值为，求在时的最大值． - 5 - 廉实高补部理科数学周测（11）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A C D B C A B C B A D D 二、填空题 13.1 14.(2,0) 15. 16. 三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分） 17.解：的面积． ，即， 即，，． 和的面积分别为，， 由正弦定理得， ，，即 18.解：Ⅰ小球落入 4 号容器的概率的理论值为， 小球落入 4 号容器的概率的估测值为， 误差为：， 故该实验是成功的． Ⅱ由Ⅰ可得，每个小球落入 4 号容器的概率为，没有落入 4 号容器的概率为，，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ， ． 19.解：Ⅰ设 AB 的长为 t，依题意可知 BA，BC，两两垂直， 以 B 为原点，BC，，BA 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 0，，，1，， ，，1，， ，，， 设， 解得，， 平面，， 解得，，的长为． Ⅱ由Ⅰ知是平面的一个法向量， ，0，， 设平面的法向量 y，， 则，取，得， 设二面角的平面角为， 则，二面角的余弦值为． - 6 - 20.解：Ⅰ由题意可得，解得，， 椭圆的标准方程为． Ⅱ设 M，N 的坐标分别为，， 直线 MN 的方程为，与椭圆方程联立可得，消 x 可得，则，， 设点 B 的坐标为，则， ，， 直线 OB 的方程为，与椭圆方程联立可得，解得，， 不妨设点 M 在直线 OB：上方，点 N 在直线 OB：下方， 点 M 到直线 PQ 的距离为， 点 N 到直线 PQ 的距离为， ， ， 解得， 此时直线方程为或． 21.解：Ⅰ当时，，，令，得， 的单调性如下表： x 0 单调递减 单调递增 易知． Ⅱ，令，则，令，得， 的单调性如下表： x 0 单调递减 单调递增 在区间上有两个极值点，即在上有两个零点， 结合的图象可知，且，即，， 所以，即 a 的取值范围 由知，所以， 又，，，结合的图象可知， 令，则，当时，，，， 所以在上单调递增，而，， 因此． 22.解：Ⅰ曲线 C 的极坐标方程为． 曲线 C 的直角坐标方程为，即， 曲线 C 是一个以为圆心，2 为半径的圆． Ⅱ直线 l 的参数方程为为参数， 直线 l 过定点， 直线 l 与曲线 C 相交，由题意知其倾斜角为锐角， 把代入，得， - 7 - 由，得，或，舍， 又由于点 A，B 均在点 P 的下方，由参数 t 的几何意义，得： 其中，． 23.解：Ⅰ当时，或或， 解得，所以的解集为 Ⅱ， 所以， 当时，，最大值为， 当时，，最大值为， 综上，在上的最大值为 2．