2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（一） 6页

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（一）‎ ‎17．已知的前项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 当时，适合上式，．‎ ‎（2）解：令，所以，‎ ‎，两式相减得：‎ ‎，故．‎ ‎18．在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，D为AB边上的点，且，求CD的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由得：，‎ A、B、C是的内角，，因此，，故．‎ 由得：．‎ 又；‎ 也就是．‎ ‎（2）解：由得：，‎ 由正弦定理得：，，‎ 在中，，．‎ ‎19．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求出该几何体的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）4．‎ ‎【解析】（1）为的中点，取中点，连接、、；‎ 则，且，且，‎ 故四边形为平行四边形，，‎ 又平面，平面，平面．‎ ‎（2）解：由己知，，，，且，‎ 平面，，又，平面，‎ 是四棱锥的高，‎ 梯形的面积，‎ ‎，即所求几何体的体积为4．‎ ‎20．动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求△ABM的面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）4．‎ ‎【解析】（1）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．‎ ‎（2）证：设直线的方程为：，由得：，‎ 设，，则，．由得：，‎ ‎，直线的方程为：···①，‎ 直线的方程为：···②，‎ ‎①－②得：，即，‎ 将代入①得：，‎ ‎，故，，，‎ ‎，．1‎ ‎（3）解：由（2）知，点到的距离，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，的面积有最小值4．‎ ‎21．已知函数（m、n为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是．‎ ‎（1）求m、n的值；‎ ‎（2）求的最大值；‎ ‎（3）设（其中为的导函数），证明：对任意，都有．（注：）‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）由，得，由已知得，解得．又，，．‎ ‎（2）解：由（1）得：，‎ 当时，，，所以；‎ 当时，，，所以，‎ ‎∴当时，；当时，，‎ 的单调递增区间是，单调递减区间是，时，．‎ ‎（3）证明：．对任意，等价于，令，‎ 则，由得：，‎ ‎∴当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以的最大值为，即．‎ 设，则，‎ ‎∴当时，单调递增，，‎ 故当时，，即，‎ ‎，∴对任意，都有．‎