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- 2021-04-25 发布
吴起高级中学2019—2020学年第二学期
高二第一次质量检测理科数学试题
(全卷150分 时间120分钟)
一、选择题(共60分，每小题5分.)
1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数所对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列说法错误的是( )．
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向
4．分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ）
A．必要条件 B．必要条件 C．充分条件 D．必要条件或成分条件
5．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
8．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．32种 B．25种 C．20种 D．10种
9．已知且,则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有
A．21种 B．315种 C．153种 D．143种
11．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共20分，每小题5分.)
13．已知向量，，若与共线，则__________．
14．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是 ．
15．设复数满足，则的最大值是_______.
16．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.
三、解答题(共70分，17题10分.18-22每题12分)
17．已知长方体中, ，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
18．已知复数 （为正实数），且 为纯虚数.
（1）求复数 ；
（2）若 ，求复数 的模 ．
19．设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.
20．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
21．已知空间三点，设 .
1求和的夹角的余弦值；
2若向量与相垂直，求实数k的值；
3若向量与共线，求实数的值．
22． 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.
吴起高级中学2019—2020学年第二学期高二
第一次质量检测理科数学参考答案
一、选择题（每题5分）
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D
7．D 8．A 9．C 10．D 11．B 12．A
二、填空题（每题5分）
13．3 14． 15．6 16．240
三、解答题（共70分）
17、（10分）解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，
由得：
，
因为点N是AB的中点，点M是的中点，
，；
（2）由两点距离公式得：
，
；
（3）直线与直线不垂直，
理由：由（1）中各点坐标得：
，
，
与不垂直，
所以直线与直线不垂直.
18、（12分）解：（1） .
，所以 ，又 为正实数，
所以 ．所以 ，
（2） ，所以 ．
19、（12分）证明：假设全部小于2.即，
则，①
又，当且仅当时等号成立，
与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．
所以至少有一个不小于2.
20、（12分）解：（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，
红球4个，取法有种，
红球3个和白球1个，取法有种；
红球2个和白球2个，取法有种；
根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．
（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.
第一种，4红1白，取法有种；
第二种，3红2白，取法有种，
第三种，2红3白，取法有种，
根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有
21、（12分）解：
1 ，
和的夹角的余弦值为．
2 ，
与相垂直
，或．
3)，
向量与共线，存在实数，使得
即，
，或．
22、（12分）解:（1）证明:连接交于,连接.
因为,分别为,的中点,所以为的中位线
∴,又平面,平面,∴平面
（2）在中,,点为的中点,
∴,则平面.
又∵平面,则.
（3）取中点,连接.
依题意可得为等边三角形,∴,
又因为底面,,平面
则,
建立以为坐标原点,如图所示坐标系,则有:
,,,,,,
,,设平面的法向量为,
则,∴
∵平面,所以为平面的一条法向量,且
∴